拉氏变换和拉氏逆变换常用结论和经典定理展示与证明

一、定义与概念
- 1.1 拉普拉斯变换
- 1.2 拉普拉斯逆变换
二、拉氏变换和拉氏逆变换常用结论和经典定理
- 2.1 常用结论
- 2.2 经典定理
三、常用结论证明
- 3.1 Unit impluse function
- 3.2 Unit step function
- 3.3 Ramp function
- 3.4 Exponential function
- 3.5 Sine function
- 3.6 Cosine function
- 3.7 Power function
四、经典定理证明
- 4.1 线性性质
- 4.2 相似性质
- 4.3 微分之导数的像函数
- 4.4 微分之像函数的导数
- 4.5 积分的像函数
- 4.6 像函数的积分
- 4.7 延迟性质
- 4.8 位移性质
- 4.9 终值定理
- 4.10 初值定理
参考文献

本文适合于工科课程不过于要求过程严谨、侧重应用的特点，且拉普拉斯变换与拉普拉斯逆变换适用于工科课程中的信号与系统、复变函数与积分变换、电路理论、自动控制原理以及计算机控制原理的基础部分，因此本文提供拉氏变换与拉氏逆变换的重要结论与定理，同时，也为对相关证明感兴趣的同学提供了结论与定理的证明，如果你觉得本文对你有所帮助，可收藏本文，但转载不被允许

一、定义与概念

1.1 拉普拉斯变换

设函数f(t)f(t)f(t)是定义在[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)上的实值函数，如果对于复参数s=β+jws=\beta+\text{j}ws=β+jw，积分
F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt(1)F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt\tag{1} F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt(1)
在复平面sss的某一个区域内收敛，则称F(s)F(s)F(s)为f(t)f(t)f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为F(s)=L[f(t)]F(s)=\mathscr{L}[f(t)]F(s)=L[f(t)]，该函数被称为像函数。

1.2 拉普拉斯逆变换

已知函数f(t)f(t)f(t)经过拉普拉斯变换后得到F(s)F(s)F(s)，则原函数f(x)f(x)f(x)可由F(s)F(s)F(s)经过拉普拉斯逆变换得到:
f(t)=L−1[F(s)]=12πj∫β−j∞β+j∞F(s)estds(2)f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty}F(s)e^{st}\,ds\tag{2} f(t)=L−1[F(s)]=2πj1∫β−j∞β+j∞F(s)estds(2)
记f(t)=L−1[F(s)]f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]f(t)=L−1[F(s)]，此过程称为拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换）。

二、拉氏变换和拉氏逆变换常用结论和经典定理

2.1 常用结论

No.	Name of items	f(t)f(t)f(t)	F(s)\textit{F}(s)F(s)
1	unit impluse	δ(t)\delta(t)δ(t)	1
2	unit step	u(t)u(t)u(t)	1s\frac{1}{s}s1
3	ramp	tu(t)\textit{tu}(t)tu(t)	1s2\frac{1}{s^{2}}s21
4	exponential	eatu(t)e^{\textit{at}}\textit{u}(t)eatu(t)	1s−a\frac{1}{s-a}s−a1
5	sine	sin⁡wt\sin{wt}sinwt	ws2+w2\frac{w}{s^{2}+w^{2}}s2+w2w
6	cosine	cos⁡wt\cos{wt}coswt	ss2+w2\frac{s}{s^{2}+w^{2}}s2+w2s
7	power	tmt^mtm	m!sm+1\frac{m!}{s^{m+1}}sm+1m!

2.2 经典定理

No.	定理&性质名称	表达式
1	线性性质	L[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)\mathscr{L}[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha F(s)+\beta G(s)L[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)，其中α\alphaα和β\betaβ为常数
2	相似性质	L[f(at)]=1aF(sa)\mathscr{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})L[f(at)]=a1F(as)，其中aaa为大于0的常数
3	微分之导数的像函数	L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0)\mathscr{L}[{f}^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-{f}^{(n-1)}(0)L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0)
4	微分之像函数的导数	F(n)(s)=(−1)nL[tnf(t)]{F}^{(n)}(s)=(-1)^n\mathscr{L}[t^nf(t)]F(n)(s)=(−1)nL[tnf(t)]
5	积分的像函数	L[∫0tdt∫0tdt⋯∫0t⏟n个f(t)dt]=1snF(s)\mathscr{L}[\underbrace{\int_0^tdt\int_0^tdt\cdots\int_0^t}_{n个}f(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s)L[n个∫0tdt∫0tdt⋯∫0tf(t)dt]=sn1F(s)
6	像函数的积分	∫s∞ds∫s∞ds⋯∫s∞⏟n个F(s)ds=L[f(t)tn]\underbrace{\int_s^\infty ds\int_s^\infty ds\cdots\int_s^\infty}_{n个} F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t^n}]n个∫s∞ds∫s∞ds⋯∫s∞F(s)ds=L[tnf(t)]
7	延迟性质	L[f(t−τ)]=e−sτF(s)\mathscr{L}[f(t-\tau)]=e^{-s\tau}F(s)L[f(t−τ)]=e−sτF(s)
8	位移性质	L[eatf(t)]=F(s−a)\mathscr{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)L[eatf(t)]=F(s−a)
9	终值定理	lim⁡t→+∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)\lim\limits_{t \to +\infty}f(t)=\lim\limits_{s\to 0}sF(s)t→+∞limf(t)=s→0limsF(s)
10	初值定理	lim⁡t→0+f(t)=lim⁡s→+∞sF(s)\lim\limits_{t \to 0^+}f(t)=\lim\limits_{s\to +\infty}sF(s)t→0+limf(t)=s→+∞limsF(s)

三、常用结论证明

3.1 Unit impluse function

已知函数f(t)=δ(t)f(t)=\delta (t)f(t)=δ(t)，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：

已知δ(t)\delta(t)δ(t)的定义如下：
δ(t)={A−τ2⩽t⩽τ20t>∣τ2∣,且Aτ=1,τ→0+\delta(t)=\left\{ \begin{aligned} A && -\frac{\tau}{2}\leqslant t\leqslant\frac{\tau}{2} \\ 0 && t> \left|\frac{\tau}{2} \right | \\ \end{aligned}\,\,,且A\tau=1,\tau\to0^+ \right. δ(t)=⎩⎨⎧A0−2τ⩽t⩽2τt>∣∣2τ∣∣,且Aτ=1,τ→0+

F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞δ(t)e−stdt=∫−∞+∞δ(t)e−jwtdt=A∫−τ2τ2e−jwtdt=A−jw(e−jwτ2−ejwτ2)=2Awsin⁡wτ2=lim⁡τ→0+2sin⁡wτ2wt=1\begin{aligned} F(s)&=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt\\&=\int_0^{+\infty}\delta(t)e^{-st}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)e^{-jwt}dt\\&=A\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}e^{-jwt}dt\\ &=\frac{A}{-jw}\left(e^{-jw\frac{\tau}{2}}-e^{jw\frac{\tau}{2}}\right)\\&=\frac{2A}{w}\sin\frac{w\tau}{2}\\ &=\lim\limits_{\tau\to0^+}\frac{2\sin\frac{w\tau}{2}}{wt}\\&=1 \end{aligned} F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞δ(t)e−stdt=∫−∞+∞δ(t)e−jwtdt=A∫−2τ2τe−jwtdt=−jwA(e−jw2τ−ejw2τ)=w2Asin2wτ=τ→0+limwt2sin2wτ=1
证毕

3.2 Unit step function

已知函数f(t)=u(t)f(t)=u(t)f(t)=u(t)，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞u(t)e−stdt=−1se−st∣0+∞=1sF(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt=\int_0^{+\infty}u(t)e^{-st}dt=-\frac{1}{s}e^{-st}\big|_0^{+\infty}=\frac{1}{s} F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞u(t)e−stdt=−s1e−st∣∣0+∞=s1
证毕

3.3 Ramp function

已知函数f(t)=tu(t)f(t)=tu(t)f(t)=tu(t)，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞tu(t)e−stdt=−1s∫0+∞td(e−st)=−1s[te−st∣0+∞−∫0+∞e−stdt]=1s2\begin{aligned} F(s)&=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt\\ &=\int_0^{+\infty}tu(t)e^{-st}dt\\ &=-\frac{1}{s}\int_0^{+\infty}td(e^{-st})\\ &=-\frac{1}{s}\left[te^{-st}\big|_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}e^{-st}dt\right]\\&=\frac{1}{s^2} \end{aligned} F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞tu(t)e−stdt=−s1∫0+∞td(e−st)=−s1[te−st∣∣0+∞−∫0+∞e−stdt]=s21
证毕

3.4 Exponential function

已知函数f(t)=eatu(t)f(t)=e^{at}u(t)f(t)=eatu(t)，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞eatu(t)e−stdt=1a−se(a−s)t∣0+∞=1s−aF(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt=\int_0^{+\infty}e^{at}u(t)e^{-st}dt=\frac{1}{a-s}e^{(a-s)t}\big|_0^{+\infty}=\frac{1}{s-a} F(s)=∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞eatu(t)e−stdt=a−s1e(a−s)t∣∣0+∞=s−a1
证毕

3.5 Sine function

已知函数f(t)=sin⁡wtf(t)=\sin wtf(t)=sinwt，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F(s)=L[sin⁡wt]=12j(L[ejwt]−L[e−jwt])=12j(1s−jw−1s+jw)=ws2+w2\begin{aligned} F(s)&=\mathscr{L}[\sin wt]=\frac{1}{2j}\left(\mathscr{L}[e^{jwt}]-\mathscr{L}[e^{-jwt}]\right)\\&=\frac{1}{2j}\left(\frac{1}{s-jw}-\frac{1}{s+jw}\right)=\frac{w}{s^2+w^2} \end{aligned} F(s)=L[sinwt]=2j1(L[ejwt]−L[e−jwt])=2j1(s−jw1−s+jw1)=s2+w2w
证毕

3.6 Cosine function

已知函数f(t)=cos⁡wtf(t)=\cos wtf(t)=coswt，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F(s)=L[cos⁡wt]=12(L[ejwt]+L[e−jwt])=12(1s−jw+1s+jw)=ss2+w2\begin{aligned} F(s)&=\mathscr{L}[\cos wt]=\frac{1}{2}\left(\mathscr{L}[e^{jwt}]+\mathscr{L}[e^{-jwt}]\right)\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-jw}+\frac{1}{s+jw}\right)=\frac{s}{s^2+w^2} \end{aligned} F(s)=L[coswt]=21(L[ejwt]+L[e−jwt])=21(s−jw1+s+jw1)=s2+w2s
证毕

3.7 Power function

已知函数f(t)=tmf(t)=t^mf(t)=tm，因此该函数经过拉普拉斯变换将得到像函数：
F(s)=L[tm]=∫0+∞tme−stdt=−1s∫0+∞tmd(e−st)=−1stme−st∣0+∞+ms∫0+∞tm−1e−stdt=msL[tm−1]=m(m−1)s2L[tm−2]⋮=m!smL[t0]=m!sm+1\begin{aligned} F(s)&=\mathscr{L}[t^m]\\&=\int_0^{+\infty}t^me^{-st}dt\\&=-\frac{1}{s}\int_0^{+\infty}t^md(e^{-st})\\ &=-\frac{1}{s}t^me^{-st}\big|_0^{+\infty}+\frac{m}{s}\int_0^{+\infty}t^{m-1}e^{-st}dt\\ &=\frac{m}{s}\mathscr{L}[t^{m-1}]\\&=\frac{m(m-1)}{s^2}\mathscr{L}[t^{m-2}]\\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vdots\\ &=\frac{m!}{s^m}\mathscr{L}[t^0]\\&=\frac{m!}{s^{m+1}} \end{aligned} F(s)=L[tm]=∫0+∞tme−stdt=−s1∫0+∞tmd(e−st)=−s1tme−st∣∣0+∞+sm∫0+∞tm−1e−stdt=smL[tm−1]=s2m(m−1)L[tm−2]⋮=smm!L[t0]=sm+1m!
证毕

四、经典定理证明

4.1 线性性质

设α,β\alpha,\betaα,β为常数，且有L[f(t)]=F(s),L[g(t)]=G(s)\mathscr{L}[f(t)]=F(s),\mathscr{L}[g(t)]=G(s)L[f(t)]=F(s),L[g(t)]=G(s)，则有
L[αf(t)+βg(t)]=∫0+∞(αf(t)+βg(t))e−stdt=α∫0+∞f(t)e−stdt+β∫0+∞g(t)e−stdt=αF(s)+βG(s)\begin{aligned} \mathscr{L}[\alpha f(t)+\beta g(t)]&=\int_0^{+\infty}\left(\alpha f(t)+\beta g(t)\right)e^{-st}dt\\ &=\alpha \int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt+\beta \int_0^{+\infty}g(t)e^{-st}dt\\ &=\alpha F(s)+\beta G(s) \end{aligned} L[αf(t)+βg(t)]=∫0+∞(αf(t)+βg(t))e−stdt=α∫0+∞f(t)e−stdt+β∫0+∞g(t)e−stdt=αF(s)+βG(s)
证毕

4.2 相似性质

设L[f(t)]=F(s)\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)L[f(t)]=F(s)，则对任一常数a>0a>0a>0有
L[f(at)]=∫0+∞f(at)e−stdt=令x=at1a∫0+∞f(x)e−(sa)xdx=1aF(sa)\begin{aligned} \mathscr{L}[f(at)]&=\int_0^{+\infty}f(at)e^{-st}dt\\& \xlongequal{令x=at}\frac{1}{a}\int_0^{+\infty}f(x)e^{-(\frac{s}{a})x}dx\\&=\frac{1}{a}F\left({\frac{s}{a}}\right) \end{aligned} L[f(at)]=∫0+∞f(at)e−stdt令x=ata1∫0+∞f(x)e−(as)xdx=a1F(as)
证毕

4.3 微分之导数的像函数

设L[f(t)]=F(s)\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)L[f(t)]=F(s)，则有
L[f′(t)]=∫0+∞f′(t)e−stdt=分部积分f(t)e−st∣0+∞+s∫0+∞f(t)e−stdt=sF(s)−f(0)\begin{aligned} \mathscr{L}[f'(t)]&=\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt\\ &\xlongequal{分部积分}f(t)e^{-st}\big|_0^{+\infty}+s\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\\ &=sF(s)-f(0) \end{aligned} L[f′(t)]=∫0+∞f′(t)e−stdt分部积分f(t)e−st∣∣0+∞+s∫0+∞f(t)e−stdt=sF(s)−f(0)
经过数学归纳法可得：
L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0)\mathscr{L}[{f}^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-{f}^{(n-1)}(0) L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0)
证毕

4.4 微分之像函数的导数

设L[f(t)]=F(s)\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)L[f(t)]=F(s)，则有
F′(s)=dds∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞∂∂s[f(t)e−st]dt=−∫0+∞tf(t)e−stdt=−L[tf(t)]\begin{aligned} F'(s)&=\frac{d}{ds}\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\\&=\int_0^{+\infty}\frac{\partial}{\partial s}\left[f(t)e^{-st}\right]dt\\ &=-\int_0^{+\infty}tf(t)e^{-st}dt\\ &=-\mathscr{L}[tf(t)] \end{aligned} F′(s)=dsd∫0+∞f(t)e−stdt=∫0+∞∂s∂[f(t)e−st]dt=−∫0+∞tf(t)e−stdt=−L[tf(t)]
对F(s)F(s)F(s)施行同样步骤，反复进行可得：
F(n)(s)=(−1)nL[tnf(t)]{F}^{(n)}(s)=(-1)^n\mathscr{L}[t^nf(t)] F(n)(s)=(−1)nL[tnf(t)]
证毕

4.5 积分的像函数

设L[f(t)]=F(s),g(t)=∫0tf(t)dt\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s),g(t)=\int_0^tf(t)dtL[f(t)]=F(s),g(t)=∫0tf(t)dt，则g′(t)=f(t)g'(t)=f(t)g′(t)=f(t)，且g(0)=0g(0)=0g(0)=0，利用微分之导数的像函数可得：
L[g′(t)]=sL[g(t)]−g(0)=sL[g(t)]=sL[∫0tf(t)dt]\mathscr{L}[g'(t)]=s\mathscr{L}[g(t)]-g(0)=s\mathscr{L}[g(t)]=s\mathscr{L}\left[\int_0^tf(t)dt\right] L[g′(t)]=sL[g(t)]−g(0)=sL[g(t)]=sL[∫0tf(t)dt]
即有L[∫0tf(t)dt]=1sF(s)\mathscr{L}\left[\int_0^tf(t)dt\right]=\frac{1}{s}F(s)L[∫0tf(t)dt]=s1F(s)，反复利用上式可得：
L[∫0tdt∫0tdt⋯∫0t⏟n个f(t)dt]=1snF(s)\mathscr{L}[\underbrace{\int_0^tdt\int_0^tdt\cdots\int_0^t}_{n个}f(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s) L[n个∫0tdt∫0tdt⋯∫0tf(t)dt]=sn1F(s)
证毕

4.6 像函数的积分

设L[f(t)]=F(s)\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)L[f(t)]=F(s)，则有
∫s+∞F(s)ds=∫s+∞[∫0+∞f(t)e−stdt]ds=∫0+∞f(t)[∫s+∞e−stds]dt=∫0+∞f(t)⋅[−1te−st]∣s+∞dt=∫0+∞f(t)te−st=L[f(t)t]\begin{aligned} \int_s^{+\infty}F(s)ds&=\int_s^{+\infty}\left[\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt\right]ds\\ &=\int_0^{+\infty}f(t)\left[\int_s^{+\infty}e^{-st}ds\right]dt\\ &=\int_0^{+\infty}f(t)\cdot\left[-\frac{1}{t}e^{-st}\right]\big|_s^{+\infty}dt\\ &=\int_0^{+\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}\\ &=\mathscr{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right] \end{aligned} ∫s+∞F(s)ds=∫s+∞[∫0+∞f(t)e−stdt]ds=∫0+∞f(t)[∫s+∞e−stds]dt=∫0+∞f(t)⋅[−t1e−st]∣∣s+∞dt=∫0+∞tf(t)e−st=L[tf(t)]
反复利用上式可得：
∫s∞ds∫s∞ds⋯∫s∞⏟n个F(s)ds=L[f(t)tn]\underbrace{\int_s^\infty ds\int_s^\infty ds\cdots\int_s^\infty}_{n个} F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t^n}] n个∫s∞ds∫s∞ds⋯∫s∞F(s)ds=L[tnf(t)]
证毕

4.7 延迟性质

设L[f(t)]=F(s)\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)L[f(t)]=F(s)，当t<0t<0t<0时，f(t)=0f(t)=0f(t)=0，则对任一非负实数τ\tauτ有
L[f(t−τ)]=∫0+∞f(t−τ)e−stdt=∫τ+∞f(t−τ)e−stdt\mathscr{L}[f(t-\tau)]=\int_0^{+\infty}f(t-\tau)e^{-st}dt=\int_\tau^{+\infty}f(t-\tau)e^{-st}dt L[f(t−τ)]=∫0+∞f(t−τ)e−stdt=∫τ+∞f(t−τ)e−stdt
令t1=t−τt_1=t-\taut1=t−τ有
L=∫0+∞f(t1)e−s(t1+τ)dt1=e−sτ∫0+∞f(t1)e−st1dt1=e−sτF(s)\mathscr{L}=\int_0^{+\infty}f(t_1)e^{-s(t_1+\tau)}dt_1=e^{-s\tau}\int_0^{+\infty}f(t_1)e^{-st_1}dt_1=e^{-s\tau}F(s) L=∫0+∞f(t1)e−s(t1+τ)dt1=e−sτ∫0+∞f(t1)e−st1dt1=e−sτF(s)
证毕

4.8 位移性质

设L[f(t)]=F(s)\mathscr{L}\left[f(t)\right]=F(s)L[f(t)]=F(s)，则有
L[eatf(t)]=∫0+∞eatf(t)e−stdt=∫0+∞f(t)e−(s−a)tdt=F(s−a)\mathscr{L}[e^{at}f(t)]=\int_0^{+\infty}e^{at}f(t)e^{-st}dt=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-(s-a)t}dt=F(s-a) L[eatf(t)]=∫0+∞eatf(t)e−stdt=∫0+∞f(t)e−(s−a)tdt=F(s−a)
证毕

4.9 终值定理

从拉普拉斯变换的微分性质我们知道以下一个简单的等式：
L[f′(t)]=∫0+∞f′(t)e−stdt=sF(s)−f(0)\mathscr{L}[f'(t)]=\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0) L[f′(t)]=∫0+∞f′(t)e−stdt=sF(s)−f(0)
我们将等式两边取极限s→0s\to0s→0，可得
lim⁡s→0∫0+∞f′(t)e−stdt=∫0+∞f′(t)dt=lim⁡t→+∞f(t)−f(0)=lim⁡s→0sF(s)−f(0)\lim\limits_{s\to0}\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt=\int_0^{+\infty}f'(t)dt=\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)-f(0)=\lim\limits_{s\to0}sF(s)-f(0) s→0lim∫0+∞f′(t)e−stdt=∫0+∞f′(t)dt=t→+∞limf(t)−f(0)=s→0limsF(s)−f(0)
化简可得：
f(+∞)=lim⁡t→+∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)f(+\infty)=\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=\lim\limits_{s\to0}sF(s) f(+∞)=t→+∞limf(t)=s→0limsF(s)
证毕

4.10 初值定理

从拉普拉斯变换的微分性质我们知道以下一个简单的等式：
L[f′(t)]=∫0+∞f′(t)e−stdt=sF(s)−f(0)\mathscr{L}[f'(t)]=\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0) L[f′(t)]=∫0+∞f′(t)e−stdt=sF(s)−f(0)
我们将等式两边取极限s→+∞s\to+\inftys→+∞，可得
lim⁡s→+∞∫0+∞f′(t)e−stdt=0=lim⁡s→+∞sF(s)−f(0)\lim\limits_{s\to+\infty}\int_0^{+\infty}f'(t)e^{-st}dt=0=\lim\limits_{s\to+\infty}sF(s)-f(0) s→+∞lim∫0+∞f′(t)e−stdt=0=s→+∞limsF(s)−f(0)
因此，我们可以得到：
lim⁡t→0+f(t)=f(0)=lim⁡s→+∞sF(s)\lim\limits_{t\to0^+}f(t)=f(0)=\lim\limits_{s\to+\infty}sF(s) t→0+limf(t)=f(0)=s→+∞limsF(s)
证毕

参考文献

[1]李红, 谢松法. 复变函数与积分变换.第4版[M]. 高等教育出版社, 2013.

拉普拉斯变换与拉普拉斯逆变换的常用结论与经典公式相关推荐

GCN频域视角相关——傅里叶变换、拉普拉斯变换、拉普拉斯算子、拉普拉斯矩阵、卷积
试图通俗地捋清标题名词之间的关系 0. 前置知识 0.1 函数的正交 0.2 什么是卷积? 0.3 散度 0.4 欧拉公式 1. 卷积与傅里叶变换 1.1 傅里叶变换 1.2 时域的卷积等于频域的乘积 ...
拉普拉斯变换_拉普拉斯变化（s变换）定义与性质
<工程控制论>第二章--拉普拉斯变化方法章节导言中说:"For linear differential equations with constant coefficients ...
拉普拉斯变换和拉普拉斯分析基于matlab总结
** 所用的MATLAB函数: ** dirac(t) 冲激函数 heaviside(t) 阶跃函数 laplace(ft) 单边拉普拉斯变换 ilaplace(Fs) 拉普拉斯逆变换 num=[1 ...
拉普拉斯变换_拉普拉斯变换——奇妙的数学
无奈学不会工程数学中的拉普拉斯变换,没办法去感知他的存在形式,在YOUTOBE上看到一个讲解拉普拉斯变换的视频,好像懂了些,分享给同样迷茫的小伙伴,下载的时候是有字幕的,发到知乎上就没字幕了,英文好的 ...
卷积的拉普拉斯变换等于拉普拉斯变换的乘积
MIT_18.03_微分方程_Laplace_Transform_拉普拉斯变换_Notes
Laplace Transform 引对于幂级数 power series ∑0∞anxn=A(x)\sum_{0}^{\infty}{a_{n}x^n} = A(x) 0∑∞anxn=A(x) ...
傅里叶变换和拉普拉斯变换的物理解释及区别
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> " 傅里叶变换在物理学.数论.组合数学.信号处理.概率论.统计学.密码学.声学.光学.海洋学.结构动力学等领域都有着 ...
信号与系统（二）：拉普拉斯变换的意义：谈H(s)、h(t)、δ(t)
一.引言在<信号与系统>或者<自动控制理论>中,我们分析线性时不变系统,本质是求解线性常系数微分方程.我们遇到各种变换,傅里叶.拉普拉斯,他们的意义主要分为数学意义.物理意义 ...
傅里叶变换、离散余弦变换、拉普拉斯变换、Z变换
图像的变换图像的傅里叶变换(平移后)数据在频域中心,离散余弦变换以后频率域平均值数据都在左上角.所以在滤波时使用傅里叶变换,图像压缩时使用离散余弦变换.变换后的图像,低频部分反应图像平滑度(概貌特性 ...
简述计算机三大变换的联系和区别 (傅里叶变换拉普拉斯变换 z变换)
Q:简述计算机三大变换的联系和区别 (傅里叶变换拉普拉斯变换 z变换) (1) 傅里叶变换定义: 表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合.傅立叶变 ...

拉普拉斯变换与拉普拉斯逆变换的常用结论与经典公式