模糊控制之模糊集，隶属函数，模糊关系

什么是模糊集呢？模糊集相对于普通集合而言，用隶属度用函数表示，普通集合用特征函数表示。当然，他俩都是在论域下的。

支集(SuppA={x∣x∈U,A(x)>0SuppA=\{x|x\in U,A(x)>0SuppA={x∣x∈U,A(x)>0)是F集合(模糊集，边界不明显的)中所有大于零的元素组成的集合(毕竟F集也是包含0的)

核(KerA={x∣x∈U,A(x)=1KerA=\{x|x\in U,A(x)=1KerA={x∣x∈U,A(x)=1)是F集合中所有等于1的元素组成的集合(普通集了)

如果支集不为空，则称为正规F集，注意幂集记作ψU\psi UψU(实在打不出来，符号超级复杂)

特征函数就是在不在，AAA就是代表特征函数(它取值0~1之间)。

集合数积(乘上一个数λ\lambdaλ)，输出0到1，这里λ\lambdaλ就是[0,1][0,1][0,1](0到1之间某一个数)，这样λA\lambda AλA就会限制到[0,λ][0,\lambda][0,λ]。

曲线是随便乱画的，凡是出现的曲线属于SuppASuppASuppA，KerAKerAKerA是最高的点。

经典集合的凸集

就是任意两点之间的连线上的所有点都在集合内，这就是凸集。
凸F集的定义是任何中间的隶属度(A(x3)≥min(A(x1),A(x2)),A(x3)=A(x1)∧A(x2)A(x_3)\ge min(A(x_1),A(x_2)),A(x_3)=A(x_1)\wedge A(x_2)A(x3)≥min(A(x1),A(x2)),A(x3)=A(x1)∧A(x2))，都要大于两边元素的隶属度中的小者(对就是小者)，反应在曲线上是一个单峰A(x)函数

把实数域上的正规的，凸F集称为正规实模糊数，简称模糊数，即把以某个实数值为核的，凸F集称为F数(F数的本质是凸F集)。F数是一类特殊的F集合，是实数域上的F集合，它的性质和一般F集合完全相同，例如”20岁左右“(20就是A的核，20岁上下的隶属度都小于20岁的1，这是没问题的，这就是凸F集)，”1.8m上下“，既可以用F集合表示，也可以用F数表示(例如F数2，F数3，F数20)。靠近程度用隶属度函数表示。隶属度函数输出的是隶属度，一个事实一般有多个隶属函数，这些隶属函数有一部分相交(例如青年，中年，老年)。

模糊集的扩充，例如基本概念扩充法(实际上也是隶属函数集的建立过程)，例如：μ极大(u)=μ大2(u)\mu_{极大}(u)=\mu^2_{大}(u)μ极大(u)=μ大2(u)(这实际上是另一个隶属函数了)。这个非常非常好用(老师说的)。注意这是小数，平方后变小了(保留两位就可以了，老师要求就这样) 。最后的隶属值会变小(用离散值举例)。至今为止，确定隶属函数的具体方法大多停留在经验，实践和实验数据上，经常使用的经验方法有以下几种：模糊统计法，二元对比排序法，专家经验法(教授还是吃香的。。。)，神经网络法。无论哪种方法，都离不开人的主管参与和客观实际的检验。F集合完全由隶属函数所描述。

模糊函数(向量)的组合
设论域为UUU，如果任何一个xxx，有A(x)=1A(x)=1A(x)=1，则称A为论域UUU上的全集(把年龄想象成离散的，一共1-100岁，这个隶属函数全是1，说明它表示全年龄，这就是这样的全集，A(x)≡1A(x)\equiv 1A(x)≡1)，同理，模糊空集为(A(x)≡0A(x)\equiv 0A(x)≡0)，F全集与F空集都属于经典集合。

模糊集合还有相等，
包含(均有A(x)≤B(x)A(x)\le B(x)A(x)≤B(x))，
并集(C(x)=max[A(x),B(x)]=A(x)∨B(x)C(x)=max[A(x),B(x)]=A(x)\vee B(x)C(x)=max[A(x),B(x)]=A(x)∨B(x))，
交集(C(x)=min[A(x),B(x)]=A(x)∧B(x)C(x)=min[A(x),B(x)]=A(x)\wedge B(x)C(x)=min[A(x),B(x)]=A(x)∧B(x))，
补集(B(x)=1−A(x)B(x)=1-A(x)B(x)=1−A(x))(实际上是函数(映射关系)的组合)

模糊关系就是两个模糊集之间的关系，也就是两个隶属函数之间的关系。模糊关系可以想象成不同厨师对一道菜色香味的评分。例如好吃与高分的关系，好吃与低分的关系。

模糊关系脱离模糊集而存在。是论域U,VU,VU,V的关系，其实也是U×VU\times VU×V的一个子集，即R⊆U×VR\subseteq U\times VR⊆U×V，对于其中的元素，如果(u,v)∈R(u,v)\in R(u,v)∈R则称uuu与vvv有RRR关系，否则称没有关系。
U→RVU\rightarrow^R VU→RV

所谓直积，就是这个：
A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}

若AAA与BBB有关系RRR，那也是A×BA\times BA×B的子集了。序偶(a,b)(a,b)(a,b)也会有隶属度为μR(a,b)\mu_R(a,b)μR(a,b)。它是一种新的模糊集。

序偶隶属度与普通隶属度的联系在于：
下面是一条模糊规则：
A→B或IFA(u)THENB(v)R=A×B=∫U×Vmin(μA(u),μB(v))/(u,v)A\rightarrow B\quad 或\quad IF\quad A(u) \quad THEN\quad B(v)\\ R=A\times B=\int_{U\times V}min(\mu_A(u),\mu_B(v))/(u,v)A→B或IFA(u)THENB(v)R=A×B=∫U×Vmin(μA(u),μB(v))/(u,v)

那么RRR就是一个模糊矩阵。这时候算法就跟矩阵乘积一样了。笛卡尔乘积就是可以形成序偶。
接下来就是模糊关系与模糊关系的关系，合成：
R1∘R2μR1∘R2(u,w)=∨{μR1(u,v)∧μR2(v,w)}R_1\circ R_2\\ \mu_{R_1\circ R_2}(u,w)=\vee\{\mu_{R_1}(u,v)\wedge \mu_{R_2}(v,w)\}R1∘R2μR1∘R2(u,w)=∨{μR1(u,v)∧μR2(v,w)}

什么意思呢？这是正常的矩阵操作，取大取小跟矩阵一模一样。
R(x,z)=(P∘Q)(x,z)={(x,z)∣∃y,(x,y)∈P,(y,z)∈Q}R(x,z)=(P\circ Q)(x,z)=\{(x,z)|\exists y,(x,y)\in P,(y,z)\in Q\}R(x,z)=(P∘Q)(x,z)={(x,z)∣∃y,(x,y)∈P,(y,z)∈Q}
什么叫模糊变换呢？就是一个模糊集(向量)跟一个序偶模糊集(矩阵)相乘，的出来一个向量，这是模糊变换(也是模糊合成的一种)。
A∘R=BA\circ R=BA∘R=B

但在色香味例子中，AAA只是一个权重，RRR是评价矩阵，BBB为总和评价矩阵，反正也是从一个关系转移到另一个关系了。另外最后还需要归一化。

下面说明几种清晰化方案：

模糊集合的截集，说白了，就是绩点。当然，如果连续的模糊集合无限分层，或者大量相差很小的经典集合求并，会成为模糊集合，反之，F集合的截集合可以使F集合转化为经典集合。截集的定义为：
Aλ={x∣x∈U,A(x)≥λ}A_\lambda=\{x|x\in U,A(x)\ge\lambda\}Aλ={x∣x∈U,A(x)≥λ}
称AλA_\lambdaAλ为A的一个λ\lambdaλ-截集，λ\lambdaλ为阙值或置信水平。
称集合Aλ={x∣x∈U,A(x)>λ}A_\lambda=\{x|x\in U,A(x)>\lambda\}Aλ={x∣x∈U,A(x)>λ}为F集A的一个λ\lambdaλ-强截集。
λ\lambdaλ-截集与λ\lambdaλ-强截集都属于经典集合，利用数积的概念，任何一个模糊集合A可以看作无限多截集AλA_\lambdaAλ的并(A=∪λ∈[0,1](λAλ)A=\cup_{\lambda\in[0,1]}(\lambda A_\lambda)A=∪λ∈[0,1](λAλ))，这就是模糊集合的分解定理。该定理反映了F集合与经典集合的相互转化的关系。
模糊关系矩阵的截矩阵
关于一个哨兵λ\lambdaλ，超过它就是1，没超过就是0，就这样。

模糊集合转化为数值，挺重要的。这种转换也称为模糊集合的清晰化或反模糊化。

面积中心(重心)法，面积中心法直观合理，言之有据，但计算略显复杂。
面积平分法，将隶属函数曲线面积平均分成两半，找这条线，用该值代表该模糊集合。直观合理，计算简便，在模糊控制器中使用较多。
最大隶属度法，通常模糊集合并非都是正规的和凸的，隶属函数也并非一条连续直线。因此，用隶属度最大点对应的元素值，代表这个模糊集合是一种简便方法，称为最大隶属度法。但往往有以偏概全之嫌。说不定在多处隶属度都取最大值。这样还要用最大隶属度平均值法，最大隶属度最大值法，最小值法，这就是清晰化。

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