题目

已知语言变量x，y，z。X的论域为{1,2,3}，定义有两个语言值:“大”={0,0.5,1}:“小”={1,0.5,0}。Y的论域为{10,20,30,40,50}，语言值为:“高”={0,0,0,0.5,1};“中”={0,0.5,1,0.5,0};“低”={1,0.5,0,0,0}。Z的论域为{0.1,0.2,0.3}，语言值为:“长”={0,0.5,1}:“短”={1,0.5,0}。则:
1）试求规则:

如果x是“大”，并且y是“高”，那么z是“长”;
否则，如果x是“小”,并且y是“中”，那么z是“短”。

所蕴涵的x，y，z之间的模糊关系RRR。

2）假设在某时刻，是“略小”={0.7,0.25,0}，y是“略高”={0,0,0.3,0.7,1}.试根据RRR通过Zadeh法模糊推理求出此时输出z的语言取值。

问题分析

第一题

如果x是“大”并且y是“高”那么z是“长”;

否则，如果x是“小”,并且y是“中”那么是“短”。

由题意可得，x，y，z之间的模糊关系RRR为：

(大×高×长)∪(小×中×短)( {\text{大}}\times {\text{高}}\times{\text{长}})\cup({\text{小}}\times{\text{中}}\times{\text{短}})(大×高×长)∪(小×中×短)

第二题

假设在某时刻，x是“略小”={0.7,0.25,0}，y是“略高”={0,0,0.3,0.7,1}。根据RRR,通过ZadehZadehZadeh法模糊推理求出此时输出z的语言取值。

因为x、y、z之间的模糊关系为RRR，所以当输入变量x、y的模糊取值为A∗A^*A∗、B∗B^*B∗时,与之对应的输出z的取值C∗C^*C∗的值为：

C∗=(A∗×B∗)∘R{C^*}=({A^*}\times{B^*})\circ{R}C∗=(A∗×B∗)∘R

由此公式再进行计算即可。

问题解决

第一题

设x的语言值{大，小}={A1,A2}\{A_1,A_2\}{A1,A2},Y的语言值{高，中，低}={B1,B2,B3}\{B_1,B_2,B_3\}{B1,B2,B3},Z的语言值{长，短}={C1,C2}\{C_1,C_2\}{C1,C2}。
则x，y，z之间的模糊关系RRR为：
R=(A1×B1×C1)∪(A2×B2×C2{R}=({A_1}\times{B_1}\times{C_1})\cup({A_2}\times{B_2}\times{C_2}R=(A1×B1×C1)∪(A2×B2×C2）\
其隶属函数为：
μ(x,y,z)=(μA1(x)∧μB1(y)∧μC1(z))∨(μA2(x)∧μB2(y)∧μC2(z))\mu(x,y,z)=(\mu_{A_1}(x)\land\mu_{B_1}(y)\land\mu_{C_1}(z))\lor(\mu_{A_2}(x)\land\mu_{B_2}(y)\land\mu_{C_2}(z))μ(x,y,z)=(μA1(x)∧μB1(y)∧μC1(z))∨(μA2(x)∧μB2(y)∧μC2(z))

第二题

求R:{R}:R:

R=(A1×B1×C1)∪(A2×B2×C2){R}=({A_1}\times{B_1}\times{C_1})\cup({A_2}\times{B_2}\times{C_2})R=(A1×B1×C1)∪(A2×B2×C2)

令R11=A1×B1R_{11}={A_1}\times{B_1}R11=A1×B1

则R11=R_{11}=R11=
[0∧00∧00∧00∧0.50∧10.5∧00.5∧00.5∧00.5∧0.50.5∧11∧01∧01∧01∧0.51∧1]\begin{bmatrix} 0\land0 & 0\land0 & 0\land0 & 0\land0.5 & 0\land1\\ 0.5\land0 & 0.5\land0 & 0.5\land0 & 0.5\land0.5 &0.5\land1\\ 1\land0 & 1\land0 & 1\land0 & 1\land0.5 & 1\land 1 \end{bmatrix}\\ ⎣⎡0∧00.5∧01∧00∧00.5∧01∧00∧00.5∧01∧00∧0.50.5∧0.51∧0.50∧10.5∧11∧1⎦⎤=
[000000000.50.50000.51]\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0.5 & 0.5\\ 0 & 0 & 0 & 0.5 & 1 \end{bmatrix} ⎣⎡00000000000.50.500.51⎦⎤

令R1=A1×B1×C1{R_{1}}={A_1}\times{B_1}\times{C_1}R1=A1×B1×C1,则:

R1=R11T×C1{R_{1}}={R_{11}^T}\times{C_1}R1=R11T×C1=

[000000000.50.50000.51]\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0&0 &0 & 0 & 0 & 0.5&0.5&0&0&0&0.5&1 \end{bmatrix} [000000000.50.50000.51]

因为C1=[00.51]{C_1}= \begin{bmatrix} 0&0.5&1 \end{bmatrix}C1=[00.51],所以:
R1=[00000000000000000000000000.50.500.50.500000000000.50.500.51]{R_1}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0.5 & 0.5\\ 0 & 0.5 & 0.5\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0.5 & 0.5\\ 0 & 0.5 & 1 \end{bmatrix}R1=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡000000000000000000000000.50.50000.50.5000000000.50.50000.51⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤.
同理，令R2=A2×B2×C2{R_{2}}={A_2}\times{B_2}\times{C_2}R2=A2×B2×C2,则R2=[0000.50.5010.500.50.500000000.50.500.50.500.50.50000000000000000000].{R_2}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0.5 & 0.5 & 0\\ 1 & 0.5 & 0\\ 0.5&0.5&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0.5&0.5&0\\ 0.5&0.5&0\\ 0.5&0.5&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}.R2=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡00.510.5000.50.50.500000000.50.50.5000.50.50.5000000000000000000000⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤.\

R=R1∪R2=[0000.50.5010.500.50.500000000.50.500.50.500.50.50.500.50.500000000000.50.500.51]R=R_1\cup R_2=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0.5 & 0.5 & 0\\ 1 & 0.5 & 0\\ 0.5&0.5&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0.5&0.5&0\\ 0.5&0.5&0\\ 0.5&0.5&0.5\\ 0&0.5&0.5\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0.5&0.5\\ 0&0.5&1\\ \end{bmatrix}R=R1∪R2=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡00.510.5000.50.50.500000000.50.50.5000.50.50.50.50000.50.5000000000.50.50000.51⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
由题意：x是“略小”={0.7,0.25,0}\{0.7,0.25,0\}{0.7,0.25,0}，y是“略高”={0,0,0.3,0.7,1}\{0,0,0.3,0.7,1\}{0,0,0.3,0.7,1}，可得各语言值的隶属函数:
μA=(0.7,0.25,0)μB=(0,0,0.3,0.7,1)\mu_A=(0.7,0.25,0)\\ \mu_B=(0,0,0.3,0.7,1) μA=(0.7,0.25,0)μB=(0,0,0.3,0.7,1)
根据RRR通过Zadeh法多输入模糊推理，可得：

C∗=(A∗×B∗)∘R{C^*}=({A^*}\times{B^*})\circ{R}C∗=(A∗×B∗)∘R\

所以:

C∗(z)=A∗(x)×B∗(y)∘R(x,y,z){C^*(z)}={A^*(x)}\times{B^*(y)}\circ{R(x,y,z)}C∗(z)=A∗(x)×B∗(y)∘R(x,y,z)\

因为:

A∗(x)×B∗(y){A^*(x)}\times{B^*(y)}A∗(x)×B∗(y)
0.70.2500.7 \\ 0.25 \\ 00.70.250
×\times×
[000.30.71]\begin{bmatrix} 0&0&0.3&0.7&1 \end{bmatrix} [000.30.71]
[000.30.70.7000.250.250.2500000]\begin{bmatrix} 0&0&0.3&0.7&0.7\\ 0&0&0.25&0.25&0.25\\ 0&0&0&0&0\\ \end{bmatrix} ⎣⎡0000000.30.2500.70.2500.70.250⎦⎤

所以：

C∗(z)=A∗(x)×B∗(y)T=[0.50.50.25]{C^*(z)}={A^*(x)}\times{B^*(y)}^T=\begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 & 0.25 \end{bmatrix}C∗(z)=A∗(x)×B∗(y)T=[0.50.50.25]

综上，此时输出z的语言取值为：
[0.50.50.25]\begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 & 0.25 \end{bmatrix} [0.50.50.25]

总结及心得体会

模糊集理论是模糊控制的数学基础，是描述模糊性概念的有效的数学工具。模糊集合理论是普通集合理论的拓展，通过引入隶属函数的概念达到了对模糊概念描述的目的。模糊思想的引入不仅使数字量和模拟量更好的融合在一起，也加速了人脑与电脑的相互联系，是用机器语言表达人类思维的好方法。

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