定义

在数域为 FF\mathbb F 的 nnn 维线性空间 V" role="presentation">VVV 中，一条直线为集合：

{x1α1+x2α2|x1,x2∈F,x1+x2=1}(1)(1){x1α1+x2α2|x1,x2∈F,x1+x2=1}

\left \{x_{1} \alpha_1 + x_{2}\alpha_2 \vert x_{1}, x_{2} \in \mathbb F, x_{1} + x_{2} = 1\right \} \tag 1
其中 α1,α2∈V,α1≠α2α1,α2∈V,α1≠α2\alpha_1, \alpha_2 \in V, \alpha_1 \neq \alpha_2
（1）式写成矩阵的形式就是：

{(α1α2)X|X∈F2,(11)X=(11)}(2)(2){(α1α2)X|X∈F2,(11)X=(11)}

\left \{ \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \end{pmatrix} X \vert X \in \mathbb F^2, \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}X= \begin{pmatrix} 1& 1 \end{pmatrix} \right \} \tag 2

定理

nnn 维空间中，过两点有且只有一条直线。

证明

存在性

∀α1,α2∈V,α1≠α2," role="presentation">∀α1,α2∈V,α1≠α2,∀α1,α2∈V,α1≠α2,\forall \alpha_1, \alpha_2 \in V, \alpha_1 \neq \alpha_2, 显然这两点过直线：
{(α1α2)X|X∈F2,(11)X=(11)}{(α1α2)X|X∈F2,(11)X=(11)}\left \{ \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \end{pmatrix} X \vert X \in \mathbb F^2, \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}X= \begin{pmatrix} 1& 1 \end{pmatrix} \right \}

唯一性

对于任意两点 γ1,γ2∈V,γ1≠γ2γ1,γ2∈V,γ1≠γ2\gamma_1, \gamma_2 \in V, \gamma_1 \neq \gamma_2 假设有两条直线 L1L1L_1 与 L2L2L_2 过这两点，其中：
L1={(α1α2)X|X∈F2,(11)X=(11)},α1,α2∈V,α1≠α2L1={(α1α2)X|X∈F2,(11)X=(11)},α1,α2∈V,α1≠α2L_1 = \left \{ \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \end{pmatrix} X \vert X \in \mathbb F^2, \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 1& 1 \end{pmatrix} \right \} ,\alpha_1, \alpha_2 \in V, \alpha_1 \neq \alpha_2
L2={(β1β2)Y|Y∈F2,(11)Y=(11)},β1,β2∈V,β1≠β2L2={(β1β2)Y|Y∈F2,(11)Y=(11)},β1,β2∈V,β1≠β2L_2 = \left \{ \begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 \end{pmatrix} Y \vert Y \in \mathbb F^2, \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} Y = \begin{pmatrix} 1& 1 \end{pmatrix} \right \} , \beta_1 , \beta_2 \in V, \beta_1 \neq \beta_2
下面证明 L1=L2L1=L2L_1 = L_2

由于 L1L1L_1 与 L2L2L_2 过这两点，则：
1. ∃P=(x11x21x12x22)∈F2×2∃P=(x11x12x21x22)∈F2×2\exists P = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb F ^{2 \times 2} 使得：
{(γ1γ2)=(α1α2)P(11)P=(11){(γ1γ2)=(α1α2)P(11)P=(11)\begin{cases}\begin{pmatrix} \gamma_1 & \gamma_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \end{pmatrix} P \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \end{cases}
2. ∃Q=(y11y21y12y22),∃Q=(y11y12y21y22),\exists Q = \begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{pmatrix}, 使得：
{(γ1γ2)=(β1β2)Q(11)Q=(11){(γ1γ2)=(β1β2)Q(11)Q=(11)\begin{cases}\begin{pmatrix} \gamma_1 & \gamma_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 \end{pmatrix} Q \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \end{cases}
于是：
x11≠x12,x11≠x12, x_{11} \neq x_{12}, 否则 x11=x12,x11=x12, x_{11} = x_{12}, 则 x21=1−x11=1−x12=x22,x21=1−x11=1−x12=x22,x_{21} = 1- x_{11} = 1 - x_{12} = x_{22}, 从而 γ1=γ2,γ1=γ2,\gamma_1 = \gamma_2, 与 γ1≠γ2γ1≠γ2\gamma_1 \neq \gamma_2 矛盾。
因此： |P|=∣∣∣x11x21x12x22∣∣∣=∣∣∣x11x11+x21x12x12+x22∣∣∣=∣∣∣x111x121∣∣∣=x11−x12≠0|P|=|x11x12x21x22|=|x11x12x11+x21x12+x22|=|x11x1211|=x11−x12≠0\vert P \vert = \begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x_{11}& x_{12} \\ x_{11}+ x_{21} & x_{12} + x_{22} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_{11} & x_{12} \\ 1&1 \end{vmatrix} = x_{11} - x_{12} \neq 0
从而 PPP 可逆。
又 (11)P=(11)," role="presentation">(11)P=(11),(11)P=(11),\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}, 因此 (11)P−1=(11)(11)P−1=(11)\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}
由于 (α1α2)P=(β1β2)Q,(α1α2)P=(β1β2)Q, \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \end{pmatrix} P = \begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 \end{pmatrix} Q,
因此 (α1α2)=(β1β2)QP−1(α1α2)=(β1β2)QP−1 \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 \end{pmatrix} Q P ^{-1}
于是 ∀X∈{X∈F2|(11)X=1},∃Y=PQ−1X∈F2,∀X∈{X∈F2|(11)X=1},∃Y=PQ−1X∈F2,\forall X \in \{ X \in \mathbb F^2 \vert \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} X = 1 \}, \exists Y = P Q^{-1} X \in \mathbb F^2, 使得
{(β1β2)Y=(β1β2)PQ−1X=(α1α2)X(11)Y=(11)QP−1X=(11)P−1X=(11)X=1{(β1β2)Y=(β1β2)PQ−1X=(α1α2)X(11)Y=(11)QP−1X=(11)P−1X=(11)X=1\begin{cases} \begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 \end{pmatrix} Y = \begin{pmatrix} \beta_1 & \beta_2 \end{pmatrix} P Q^{-1} X = \begin{pmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \end{pmatrix} X \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} Y = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} Q P ^{-1} X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} P^{-1} X= \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} X = 1 \end{cases}
因此 L1⊆L2,L1⊆L2,L_1 \subseteq L_2, 同理可得 L2⊆L1,L2⊆L1,L_2 \subseteq L_1,
故 L1=L2L1=L2L_1 = L_2

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