单位圆的弧长的计算

设点 A(0,1),B(0,1),C(0,−1),D(−1,0),M(a,b)A (0, 1), B (0, 1), C (0, -1), D (-1, 0), M(a, b) 为单位圆 {(x,y)∈R2:x2+y2=1}\{ (x, y) \in R^2: x ^ 2 + y ^2 = 1 \} 上任意一点。

1. a,b∈[0,1] a, b \in [0, 1] 时

定义点 AA 与点 MM 之间的弧为 AM⌢={(x,y):x∈[a,1],y∈[0,b],x2+y2=1}\overset {\frown} {AM} = \{ (x, y): x \in [a, 1], y \in [0, b], x ^ 2 + y ^2 = 1 \}，则弧长 LAM⌢L _\overset {\frown} {AM} 是关于点 MM 的横坐标 aa 的一个连续函数且单调递减，值域是 [0,LAB⌢][0, L _\overset {\frown} {AB} ]；同时也是纵坐标 bb 的一个连续函数且单调递增。

证明：

易知 a2+b2=1a ^ 2 + b ^2 = 1。
(1) a∈(0,1)a \in (0, 1) 时，
∀x∈[0,a],y=1−x2−−−−−√,dydx=−x1−x2−−−−−√, \forall x \in [0, a], y = \sqrt {1 - x ^2}, \dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x} = \dfrac {- x} {\sqrt {1 - x ^2}},
令 f(a)=∫a01+(dydx)2−−−−−−−−√dx=∫a011−x2−−−−−√dx=∫a011−x2−−−−−√dx.f(a) = \int _{0} ^{a} \sqrt {1 + (\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x})^2} \mathrm {d} x = \int _{0} ^{a} \dfrac {1} {\sqrt {1 - x ^2}} \mathrm {d} x = \int _{0} ^{a} \dfrac {1} {\sqrt {1 - x ^2}} \mathrm {d} x.
设点 BB 与点 MM 之间的弧为 BM⌢={(x,y):x∈[0,a],y∈[b,1],x2+y2=1}\overset {\frown} {BM} = \{ (x, y): x \in [0, a], y \in [b, 1], x ^ 2 + y ^2 = 1 \}，则弧长 LBM⌢=f(a)L _\overset {\frown} {BM} = f(a)。
由对称性， LAM⌢=f(b)L _\overset {\frown} {AM} = f(b) 。
(2) 由 (1) 得 a∈(0,1)a \in (0, 1) 时，LAB⌢=LAM⌢+LBM⌢=f(a)+f(b)L _\overset {\frown} {AB} = L _\overset {\frown} {AM} + L _\overset {\frown} {BM} = f(a) + f(b)。
设点 N(2√2,2√2),N ( \dfrac {\sqrt{2}} {2}, \dfrac {\sqrt{2}} {2}), 则 LAB⌢=LAN⌢+LBN⌢=2f(2√2),L _\overset {\frown} {AB} = L _\overset {\frown} {AN} + L _\overset {\frown} {BN} = 2f(\dfrac {\sqrt{2}} {2}), 记为 π2\dfrac {\pi} {2} 。
由于 LAA⌢=LBB⌢=0 L _\overset {\frown} {AA} = L _\overset {\frown} {BB} = 0，因此 a=0a = 0 或 a=1a = 1 时， LAB⌢=LAM⌢+LBM⌢L _\overset {\frown} {AB} = L _\overset {\frown} {AM} + L _\overset {\frown} {BM}。
因此 a∈[0,1)a \in [0, 1) 时，LAM⌢=LAB⌢−LBM⌢=2f(2√2)−f(a) L _\overset {\frown} {AM} = L _\overset {\frown} {AB} - L _\overset {\frown} {BM} = 2 f(\dfrac {\sqrt{2}} {2}) - f(a)。
(3) 因此，

LAM⌢=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪LAB⌢−LBM⌢=2f(2√2)−f(a),f(1−a2−−−−−√),a∈[0,2√2]a∈[2√2,1]

L _\overset {\frown} {AM}= \begin{cases} L _\overset {\frown} {AB} - L _\overset {\frown} {BM} = 2 f(\dfrac {\sqrt{2}} {2}) - f(a), & a \in [0, \dfrac {\sqrt{2}} {2}] \\ f(\sqrt {1 - a ^2}), & a \in [\dfrac {\sqrt{2}} {2}, 1] \end{cases}

因此 LAM⌢L _\overset {\frown} {AM} 是关于点 MM 的横坐标 aa 的函数，记为 arccosa,a∈[0,1]\arccos a, a \in [0, 1] 。
由于 f(a)f(a) 在 [0,2√2][0, \dfrac {\sqrt{2}} {2}] 连续且单调递增，因此值域是 [0,f(2√2)][0, f(\dfrac {\sqrt{2}} {2})]。于是 arccosa\arccos a 在 [0,2√2][0, \dfrac {\sqrt{2}} {2}] 连续且单调递减，值域是 [f(2√2),2f(2√2)][f(\dfrac {\sqrt{2}} {2}), 2 f(\dfrac {\sqrt{2}} {2})]；在[2√2,1][\dfrac {\sqrt{2}} {2}, 1] 连续且单调递减，值域是 [0,f(2√2)][0, f(\dfrac {\sqrt{2}} {2})]。因此 arccosa\arccos a 在[0,1][0, 1] 连续且单调递减，值域是 [0,2f(2√2)]=[0,π2][0, 2f(\dfrac {\sqrt{2}} {2})] = [0, \dfrac {\pi} {2}]。
(4) 由于 a=1−b2−−−−−√,a,b∈[0,1],a = \sqrt{1 - b ^2}, a, b \in [0, 1], 于是 LAM⌢=arccos1−b2−−−−−√L _\overset {\frown} {AM}= \arccos \sqrt{1 - b ^2} 也是也是纵坐标 bb 的一个连续函数，且单调递增，值域是 [0,π2][0, \dfrac {\pi} {2}]，记为 arcsinb\arcsin b。

推论一

由反函数存在性定理， y=arcsinx,x∈[0,1]y = \arcsin x, x \in [0, 1] 存在反函数，记为 y=sinx,x∈[0,π2]y = \sin x, x \in [0, \dfrac {\pi} {2}]。
同理， y=arccosx,x∈[0,1]y = \arccos x, x \in [0, 1] 存在反函数，记为 y=cosx,x∈[0,π2]y = \cos x, x \in [0, \dfrac {\pi} {2}]。

推论二

(arccosx)′=−11−x2−−−−−√，x∈[0,1)(\arccos x)' = - \dfrac {1} {\sqrt {1 - x ^2}} ， x \in [0, 1)
(arcsinx)′=11−x2−−−−−√，x∈[0,1)(\arcsin x)' = \dfrac {1} {\sqrt {1 - x ^2}} ， x \in [0, 1)

2. a∈[−1,0],b∈[0,1] a \in [-1, 0], b \in [0, 1] 时

定义 BM⌢={(x,y):x∈[a,0],y∈[b,1],x2+y2=1},AM⌢=AB⌢∪BM⌢\overset {\frown} {BM} = \{ (x, y): x \in [a, 0], y \in [b, 1], x ^ 2 + y ^2 = 1 \} , \overset {\frown} {AM} = \overset {\frown} {AB} \cup \overset {\frown} {BM} 。
由对称性可得 LAM⌢L _\overset {\frown} {AM} 是关于 aa (或 bb) 的连续函数且单调，值域为 [π2,π] [\dfrac {\pi} {2}, \pi]。

3. a∈[−1,0],b∈[−1,0] a \in [-1, 0], b \in [-1, 0] 时

定义 CM⌢={(x,y):x∈[−1,a],y∈[b,0],x2+y2=1},AM⌢=AC⌢∪CM⌢\overset {\frown} {CM} = \{ (x, y): x \in [-1, a], y \in [b, 0], x ^ 2 + y ^2 = 1 \}, \overset {\frown} {AM} = \overset {\frown} {AC} \cup \overset {\frown} {CM} 。
由对称性可得 LAM⌢L _\overset {\frown} {AM} 是关于 aa (或 bb) 的连续函数且单调，值域为 [π，3π2] [\pi， \dfrac {3 \pi} {2}]。

4. a∈[0,1),b∈[−1,0) a \in [0, 1), b \in [-1, 0) 时

定义 DM⌢={(x,y):x∈[0,a],y∈[−1,b],x2+y2=1},AM⌢=AD⌢∪DM⌢\overset {\frown} {DM} = \{ (x, y): x \in [0, a], y \in [-1, b], x ^ 2 + y ^2 = 1 \}, \overset {\frown} {AM} = \overset {\frown} {AD} \cup \overset {\frown} {DM} 。
由对称性可得 LAM⌢L _\overset {\frown} {AM} 是关于 aa (或 bb) 的连续函数且单调，值域为 [3π2，2π) [ \dfrac {3 \pi} {2}， 2 \pi)。

定义圆的周长为 LAM⌢=2πL _\overset {\frown} {AM} = 2 \pi。

角与三角函数的定义

综上，对于单位圆上任意一点 M(a,b)M (a, b)，在[0,2π)[0, 2 \pi) 上都存在唯一的实数与 LAM⌢L _\overset {\frown} {AM} 对应。
反之，对于 [0,2π)[0, 2 \pi) 上的任意一个实数 xx，在单位圆上存在唯一的一点与之对应，使得LAM⌢=xL _\overset {\frown} {AM} = x 。
1. 角的定义：从原点 OO 发出的一条射线 OBOB与射线OAOA 及它们的交点 OO 组成了一个角，设射线 OBOB 与单位圆相交于一点 MM，则这个角的大小为 LAM⌢L _\overset {\frown} {AM}。
2. 三角函数的定义：对于 [0,2π)[0, 2 \pi) 上的任意一个实数 xx，在单位圆上存在唯一的一点 M(a,b)M (a, b) 与之对应，定义横坐标 aa 与 xx 的这种映射关系的函数为 a=cosxa = \cos x ，纵坐标 bb 与 xx 的这种映射关系的函数为 b=sinxb = \sin x 。

定义与扩展

三角函数的定义扩展

sin(x+2π)=sinx,cos(x+2π)=cosx,x∈R\sin (x + 2 \pi) = sin x, \cos (x + 2 \pi) = cos x, x \in \mathbb R

角的定义扩展

任意一个实数都与一个角的大小一一对应；对于任意一个角 θ\theta，在单位圆上存在唯一的一个点 M(cosθ,sinθ)M (\cos \theta, \sin \theta ) 与之对应，使得 ∃k∈Z,2kπ+∠AOM=θ\exists k \in \mathbb Z, 2 k \pi + \angle AOM = \theta。

逆时针与顺时针旋转的定义

设角 θ\theta 所对应的单位圆上的点为 MM，另一条射线 θ′\theta ' 所对应的单位圆上的点为 NN，若 θ<θ′\theta ，则称点 MM 以点 OO 为轴心逆时针旋转到了点 N N，若 θ>θ′\theta > \theta ' ，则称点 MM 以点 OO 为轴心顺时针旋转到了点 N N。

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单位圆的弧长的计算

1. a,b∈[0,1] a, b \in [0, 1] 时

证明：

推论一

推论二

2. a∈[−1,0],b∈[0,1] a \in [-1, 0], b \in [0, 1] 时

3. a∈[−1,0],b∈[−1,0] a \in [-1, 0], b \in [-1, 0] 时

4. a∈[0,1),b∈[−1,0) a \in [0, 1), b \in [-1, 0) 时

角与三角函数的定义

定义与扩展

三角函数的定义扩展

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3. a∈[−1,0],b∈[−1,0] a \in [-1, 0], b \in [-1, 0] 时

4. a∈[0,1),b∈[−1,0) a \in [0, 1), b \in [-1, 0) 时

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