因为 觉得 如果金融市场开放，之后总需要一些金融知识，更好得去个人理财，所以 找了点资料 自学了 股票期权。
最近 沉迷股市 学习期权，所以 学了半斤八两的我 来写写 关于 股票期权 的介绍手册， 帮助 像我一样的小白 从 编程 与 数学的角度 了解期权。若有哪里不对，欢迎大佬在评论区留言。
这里就不写Python 的绘图代码了，详情请看专栏

基本概念

什么是期权？

• 期 -> 未来，权 -> 权利
• 期权 顾名思义 就是 追求 未来的权利
• 2015年 2月 9日，股票期权（option）入驻了我国证券市场。在中国有两种期权 50ETF 和 300 ETF。
• 期权也没有那么的复杂，和买保险差不多是一个意思。
  • 例：张三 买了辆新车，并买入了一份一个月的保险（一个月的期权），如果 他的车在这个月内没有出问题，那么他就损失了这一部分保险费，如果这个月 车出了大毛病，那么他就有权利 去保险公司 所取赔偿（在期权内就是有权 不损失保险以外的金额）。
• 在期权里 期权费（保费）是不退的。

认购期权

• 又称 看涨期权
• 认购期权（call option），就是上面举的例子，购买认购期权就是 拥有 未来买入某个东西的权利。如果 这个东西在未来 价格 比你订的价格低，那么你就有权利不购买它，你就只损失这一笔 定金。
• 关键字：锁定 买入价

认沽期权

• 又称 看跌期权
• 认沽期权（put option），和认购相反，就是 在未来拥有卖出的权利。
• 关键字：锁定 卖出价

四种期权类型收益简单线性图

买入看涨线性图（多头认购）

• 设定 我们 买入 期权价 500元的认购期权，定金100元。（支付100元 约定 一个月后 以500 元 价格 购买它）
• 一个月后 它的价格 变为 X。（若 X为 600，那么我不赚钱 (600−500)−100(600-500)-100(600−500)−100 ，若700 我赚一百 (700−500)−100(700-500)-100(700−500)−100， 若 400 我不履行合约 亏定金100 (0−100)(0-100)(0−100))。
• 设定 因变量 Y 为 赚的钱， 就可以 画出：

买入看跌线性图（多头认沽）

• 设定 我们 买入 期权价 500元的认沽期权（就是觉得一个月后 会跌），定金100元。（支付100元 约定 一个月后 以500 元 价格 卖出它）
• 一个月后 它的价格 变为 X。（若 X为 600，那么我不履行合约亏一百 0−1000-1000−100 ，若700 我不履行合约还亏一百 0−1000-1000−100， 若 400 我履行合约 但不赚钱 (500−400)−100(500-400)-100(500−400)−100)。
• 设定 因变量 Y 为 赚的钱， 就可以 画出：

• 那么 有了买入 那么 就有卖出 所以 我们 可以由买入 期权 变成卖出期权。
• 也就是 把 买入图 按x轴 倒一下 画出空头图

卖出看涨线性图（空头认购）

• 设定 我们 卖出 期权价 500元的认购期权（就是觉得一个月后 不会涨），收入定金100元。（收入100元 约定 一个月后 以500 元 价格 卖出它），由于卖方没有权利毁约，所以一个月后必须卖出。
• 一个月后 它的价格 变为 X。
• 设定 因变量 Y 为 赚的钱， 就可以 画出：

卖出看跌线性图（多头认沽）

• 设定 我们 卖出 期权价 500元的认沽期权（就是觉得一个月后 不会跌），收入定金100元。（收入100元 约定 一个月后 以500 元 价格 买入它），由于卖方没有权利毁约，所以一个月后必须卖出。
• 一个月后 它的价格 变为 X。
• 设定 因变量 Y 为 赚的钱， 就可以 画出：

期权线性图

• 我们学会了 四种期权的简单构成 那么就可以画出所有的图 进行对比。
• 红色 为认购，绿色 为认沽
• 实线 为买入，虚线 为卖出

• 在 图中 我们可以看到 这属于 零和博弈，有买入 那么 就有买出。在不考虑 税等因素情况下，买入的收益 就是卖出的亏损。

• 所以 期权是一种 即使 市场处于波动情况下 投资方 依然可以盈利的 金融产品。

• 补充说明（欧式期权 与 美式期权）：

  • 在全球 有两种 期权 （或三种）
  • 欧式期权：一种买方只能到期日当天行使权利 （中国使用的类型）
  • 美式期权：一种买方可以在交易期间任何时间都可以行使权利
  • (第三种)：在到期前指定一段时间可以行使权利

• 您 看到这 基本上了解了 期权的最基本的原理，现实交易肯定不可能这么的简单，那么接下来就 再 聊聊 现实中的 期权的时间价值 和 内在价值吧。

合约要素

实值，虚值与平值

• 实值，虚值与平值 这三要素 理解起来很是简单：
  • 实值：如果我现在行使权利 那我就赚了
  • 虚值：如果我现在行使权利 那我就亏了 所以我不会行使权利
  • 平值：如果我现在行使权利 不赚也不亏
• 我们用实例 来解释一下（我用的是 tushare，这是我的推荐码https://tushare.pro/register?reg=361123）：

import pandas as pd
import tushare as tus
pro = tus.pro_api()
# 获取 期权合约信息
opt_name = pro.opt_basic(exchange='SSE', fields='ts_code,name,exercise_type,list_date,delist_date')
# 选取 当月的合约
opt_name.query('list_date > "20200401" and delist_date < "20200529"')

	ts_code	name	exercise_type	list_date	delist_date
925	10002475.SH	华夏上证50ETF期权2005认购3.00	欧式	20200420	20200527
926	10002476.SH	华夏上证50ETF期权2005认沽3.00	欧式	20200420	20200527
1019	10002471.SH	华夏上证50ETF期权2005认购2.95	欧式	20200408	20200527
1020	10002472.SH	华夏上证50ETF期权2005认沽2.95	欧式	20200408	20200527
1885	10002469.SH	华夏上证50ETF期权2005认购2.45	欧式	20200402	20200527
1886	10002470.SH	华夏上证50ETF期权2005认沽2.45	欧式	20200402	20200527
2314	10002473.SH	华泰柏瑞沪深300ETF期权2005认购4.20	欧式	20200408	20200527
2315	10002474.SH	华泰柏瑞沪深300ETF期权2005认沽4.20	欧式	20200408	20200527

• 介绍一下 上表信息。
• 50 ETF 和 300 ETF 是目前 中国唯二 的 两个 在证券交易所可交易的期权。
• 10002475.SH 为 在 tushare 的编号
• 华夏上证50ETF期权2005认购2.95 的意思是 投资者有权利以2.95元每份 买入 10000份 在2020年05月的 50ETF合约。也就是预期 在 5月 价格 会比 2.95元 高。
• 2020年4月17日 收盘价为 2.793 元。当天的价格如图：

• 若我们 在 2020年4月17日 以 0.0150元每份 买入 华夏上证50ETF期权2005认购2.95, 那么这时候 收盘价 对于行权价 2.95元 就为虚值，就是说 我现在就行使权利不合算，会亏本。
• 若我们 在 2020年4月17日 以 0.1978元 买入 华夏上证50ETF期权2005认沽2.95, 那么这时候 收盘价 对于行权价 2.95 就为实值，就是说 我现在就行使权利 会赚, 但是 我们还要考虑到买入的成本。

内在价值与时间价值

• 我们通过上面的例子 可以算出 若 0.1978元 买入 2.95元的5月期货，那么对于 4月17日那天 收盘价2.793元 就直接行使权利的话 它的 内在价值为 2.95−2.793=0.1572.95 - 2.793 = 0.1572.95−2.793=0.157元。但是我们 又以 0.1978元购入，所以可以得出 它的时间价值为 0.1978−0.157=0.04080.1978 - 0.157=0.04080.1978−0.157=0.0408元。

• 在其他因素不变的话，距离到期时间越短，它的时间价值就越低。呈抛物线加速衰减。

• 接下来 看一下 认购期权 与 认沽期权 在 2020年04月的数据 (今日为4月19日 周日)

call295 = pro.opt_daily(ts_code='10002471.SH', start_date='20200408')
call295

	ts_code	trade_date	exchange	pre_settle	pre_close	open	high	low	close	settle	vol	amount	oi
0	10002471.SH	20200417	SSE	0.0104	0.0104	0.0116	0.0225	0.0116	0.0150	0.0150	3.8711	6559168.0	51792.0
1	10002471.SH	20200416	SSE	0.0111	0.0111	0.0105	0.0117	0.0091	0.0104	0.0104	1.4148	1466280.0	39377.0
2	10002471.SH	20200415	SSE	0.0121	0.0121	0.0120	0.0170	0.0107	0.0111	0.0111	1.6649	2153384.0	34645.0
3	10002471.SH	20200414	SSE	0.0094	0.0094	0.0101	0.0123	0.0081	0.0121	0.0121	1.6154	1615393.0	28321.0
4	10002471.SH	20200413	SSE	0.0160	0.0160	0.0160	0.0160	0.0089	0.0094	0.0094	1.6560	1915005.0	23352.0
5	10002471.SH	20200410	SSE	0.0195	0.0195	0.0190	0.0216	0.0158	0.0160	0.0160	1.3566	2392633.0	17205.0
6	10002471.SH	20200409	SSE	0.0206	0.0206	0.0223	0.0228	0.0183	0.0195	0.0195	1.3723	2803389.0	12130.0
7	10002471.SH	20200408	SSE	0.0278	0.0278	0.0246	0.0266	0.0206	0.0206	0.0206	0.9021	2119503.0	5423.0

put295 = pro.opt_daily(ts_code='10002472.SH', start_date='20200408')
put295

	ts_code	trade_date	exchange	pre_settle	pre_close	open	high	low	close	settle	vol	amount	oi
0	10002472.SH	20200417	SSE	0.2250	0.2250	0.2079	0.2079	0.1810	0.1978	0.1978	0.4036	7704138.0	7258.0
1	10002472.SH	20200416	SSE	0.2320	0.2320	0.2396	0.2399	0.2200	0.2250	0.2250	0.2473	5640617.0	6228.0
2	10002472.SH	20200415	SSE	0.2175	0.2173	0.2185	0.2320	0.2118	0.2320	0.2320	0.3116	6925738.0	5288.0
3	10002472.SH	20200414	SSE	0.2482	0.2482	0.2382	0.2460	0.2173	0.2173	0.2175	0.1450	3281409.0	3741.0
4	10002472.SH	20200413	SSE	0.2421	0.2407	0.2475	0.2529	0.2396	0.2482	0.2482	0.1281	3179785.0	2868.0
5	10002472.SH	20200410	SSE	0.2419	0.2414	0.2415	0.2483	0.2135	0.2407	0.2421	0.1260	2941148.0	1855.0
6	10002472.SH	20200409	SSE	0.2496	0.2496	0.2421	0.2437	0.2345	0.2414	0.2419	0.0572	1370615.0	1278.0
7	10002472.SH	20200408	SSE	0.2433	0.2433	0.2481	0.2569	0.2406	0.2496	0.2496	0.1524	3806835.0	1044.0

• 可以看到 由于认购期权 为虚值 购入的价格很低。这是因为 购买 虚值的期权 就像赌博，以小博大。例如，我在 04月17日时 购买了 一亿份 华夏上证50ETF期权2005认购2.95 花费 150万元 定金。若在5月27日时，价格涨到了3.05元 每份，那么我就相当于 赚了一千万元。若是没有比 2.95元高，那么我就损失 150万。在虚值交易中，这和杠杆类似。

期权的定义

• 上篇博客介绍了基本的概念。这次就来更深入的理解。

• 先回顾一下各个术语的定义。

• 权利的买方：期权多头

• 权利的卖方：期权空头

• 权利是未来买资产：认购期权，看涨期权

• 权利是未来卖资产：认沽期权，看跌期权

• 标的资产：买的是什么资产 和 多少数量

• 行权价：有权利买卖的价格

• 到期日：合约未来到期的日期

对比 期权多头与空头

对比	期权多头	期权空头
义务	支付期权费	配合多头行权
权利	决定是否行权	收取期权费
最大收益	看涨：理论无线 看跌：行权价-期权费	期权费
最大亏损	期权费（100%）	看涨：理论无线 看跌：行权价-期权费
保证金	0	初始保证金与追加保证金

对比 期权与期货

• 期货 （Futures）

• 对比 期权与期货多头

• 由此可以看出，买入期权 主要是买入它的波动率，只要波动率越大，那么就越容易赚钱。而期货不同，它没有对波动有特别大的偏好，波动越大，代表风险越大。

• 对比 期权与期货空头

• 在空头这张图 更可以直观看出，期货没有对波动有倾向性偏好。但做期权空头，说明 投资方 认为 波动趋近于平稳。

对比	期权（Options）	期货（Future）
合约性质	卖方必须履行义务	买卖双方都必须履行合约义务域责任
多头最大收益	无线 或 执行价-期权价	无线
多头最大损失	只限于期权费	约定价格
空头最大收益	只限于期权费	约定价格
空头最大损失	无线 或 执行价-期权价	无线
缴纳保证金	卖方	双方
影响因素	涨跌方向、波动率	涨跌方向
时间损耗	有	无

保证金

• 多头无需缴纳保证金

• 空头看涨保证金计算（两者取最大）：

  1. （结算价）期权费收入+标的资产收盘价值×10%−虚值额（结算价）期权费收入+标的资产收盘价值 \times 10 \% - 虚值额（结算价）期权费收入+标的资产收盘价值×10%−虚值额
  2. （结算价）期权费收入+标的资产收盘价值×5%（结算价）期权费收入+标的资产收盘价值 \times 5 \%（结算价）期权费收入+标的资产收盘价值×5%

• 空头看跌保证金计算（两者取最大）：

  1. （结算价）期权费收入+标的资产收盘价值×10%−虚值额（结算价）期权费收入+标的资产收盘价值 \times 10 \% - 虚值额（结算价）期权费收入+标的资产收盘价值×10%−虚值额
  2. （结算价）期权费收入+行权价值×5%（结算价）期权费收入+行权价值 \times 5 \%（结算价）期权费收入+行权价值×5%

• 例：

  • 卖空一手当日结算价为 40点，行权价为 2200点的 一个月期 看涨期权，沪深300指数收盘价为 2150点： 最终缴纳的保证金为 20500元。
  • 卖空一手当日结算价为 72点，行权价为 2200点的 一个月期 看跌期权，沪深300指数收盘价为 2150点： 最终缴纳的保证金为 28700元

欧式看涨期权价格曲线

• 运用 Black-Scholes 公式 绘制近似曲线
  1. 看涨或看跌（c or p）
  2. 标的资产现价（S0）
  3. 期权执行价格（K）
  4. 期权到期时间（t）
  5. 适用的无风险利率（rf）
  6. 适用的波动率（sigma）
  7. 股利信息（本例中使用连续股利率dv）

欧式期权价格曲线

欧式期权看跌价格曲线

• 从上面两图中可以看到，时间价值越接近 平值 它的价值越大。越往两边 它的价值自然减少。当然在其他因素不变的话，距离到期时间越短，它的时间价值就越低。呈抛物线加速衰减。

期权策略

单期权策略

• 单期权策略就是单买一种期权。

• 看空

  • 预期大跌 买看跌
  • 预期不涨 卖看涨

• 看多

  • 预期大涨 买看涨
  • 预期不跌 卖看跌

看空	看多
预期大跌 买看跌	预期大涨 买看涨	波动率
		上升
预期不涨 卖看涨	预期不跌 卖看跌	波动率
		下降

风险收益

期权多头 风险收益

• 损失有限 收益理论无限 现实概率低

在何时的概率	盈利	亏损
合理定价	低	高
期权高估	更低	更高
虚值期权	极低	极高
虚值期权+期权高估	极微小	极巨大

• 期权多头需要注意的是
  • 最大亏损为 100%
  • 波动率下降时可能导致亏损
  • 天然存在 时间价值 time decay
  • 行权价的选择

期权空头 风险收益

• 损失理论无限 收益有限 现实概率高

• 在合理定价时 大概率盈利 小概率亏损

• 需要保证金约束

• 尽管如此 有小概率损失巨大

• 期权空头需要注意的是：

  • 波动率上升可能导致亏损
  • time decay 对空头有利
  • 行权价的选择

• 认购多头合理定价

• 认购多头期权高估

• 认购多头虚值期权

跨式策略

底部跨式

• 同时买入 看涨看跌期权

• 买入相同份额的 看涨看跌期权

• 亏损：期权费 ×2\times 2×2

• 盈利：[0,∞)[0,\infty)[0,∞)

• 特征：

  • 市场方向中性，波动大时获利
  • 收益无限而风险有限

• 适用情形：

  • 预期市场波动大
  • 标的资产价格可能出现大的波动
  • 预期有重大消息公布
  • 暴跌或暴涨

• 策略变换：

  • 顶部跨式策略
  • 行权价
  • 数量匹配

• 买入不同份额的 看涨看跌期权

顶部跨式策略

• 同时卖出看涨看跌期权

勒式策略

• 因为跨式 行权价 成本偏高， 所以是对行权价偏高的一种调整
• 买入 两边 行权价 偏低的两个 看涨看跌期权。

• 亏损：期权费 ×2\times 2×2
• 盈利：[0,∞)[0,\infty)[0,∞)
• 特征与适用情形：
  • 与跨式相似
• 与跨式相比
  • 初始成本下降，回报率上升
  • 盈亏平衡点区间扩大

牛市价差组合

看涨 牛市价差组合

• 卖出高价看涨 买入低价看涨

• 策略特征
  • 标的上涨时获利，下跌时亏损
  • 风险收益均有限
  • 与单买看涨期权相比
    • 初期成本下降，最大亏损下降
    • 温和上涨情况下：回报率相对较高
    • 但收益空间有限
• 适用情形：预期标的资产价格温和上涨
• 当期权定价不合理时，会出现上图虚线的套利机会

看跌牛市价差组合

• 买入低价看跌 卖出高价看跌

• 适用情形：预期标的资产价格温和上涨
• 与看涨牛市价差相比
  • 看涨：初期净支出，期末现金流回报 ≥0\geq 0≥0
  • 看跌：初期净收入，期末现金流回报 ≤0\leq 0≤0
• 与单卖看跌相比
  • 降低风险 也降低收入

熊市价差组合

看跌熊市价差组合

• 买入高价看跌 卖出低价看跌

• 策略特征
  • 标的下跌时获利，上涨时亏损
  • 风险收益均有限
  • 与单买看跌期权相比
    • 初期成本下降，最大亏损下降
    • 温和下跌情况下：回报率相对较高
    • 但收益空间有限
• 适用情形：预期标的资产价格温和下跌
• 当期权定价不合理时，会出现上图虚线的套利机会

看涨熊市价差组合

• 买入高价看涨 卖出低价看涨

• 适用情形：预期标的资产价格温和上涨
• 与看跌熊市价差相比
  • 看跌：初期净支出，期末现金流回报 ≥0\geq 0≥0
  • 看涨：初期净收入，期末现金流回报 ≤0\leq 0≤0
• 与单卖看涨相比
  • 降低风险 也降低收入

蝶式组合

正向蝶式价差

• 买对称高低行权价，卖出双份中行权价

• 策略特征
  • 市场低波动时高回报率
  • 风险收益均有限
• 适用情形：预期市场方向中性、低波动率
• 策略变化
  • 看跌期权构造 理论上应相同
  • 反向蝶式
  • 行权价
  • 套利

反向蝶式策略

• 卖对称高低行权价，买双份中行权价

• 策略特征
  • 市场高波动时高回报率
  • 风险收益均有限
• 适用情形：预期市场高波动率

PCP

PCP 平价原理

• Put-Call Parity（PCP）
• 在欧式期权 标的资产不付红利的情况下

c 看涨期权
p 看跌期权
S 标的资产现价
X 现金
r 无风险利率
T 到期时刻
t 当前时刻

PCP 现货

• 组合

  1. 看涨期权 ccc + 现金（行权价的无风险贴现值 X1+r(T−t)\frac{X}{1+r(T-t)}1+r(T−t)X​）
  2. 看跌期权 ppp + 标的资产 SSS

• 当到期时刻 T 时：

  • 当ST>XS_T > XST​>X: 组合1价值 STS_TST​ 组合2价值 STS_TST​
  • 当ST≤XS_T \leq XST​≤X: 组合1价值 XXX 组合2价值 XXX
  • 组合1 == 组合2

• 在无套利的情况下 当前t时刻的两个组合价值也应该相等

  • c+X1+r(T−t)=p+Sc + \frac{X}{1+r(T-t)} = p + Sc+1+r(T−t)X​=p+S
  • 组合1 == 组合2

正向套利操作 （Forward）

c+X1+r(T−t)>p+S0X1+r(T−t)>p+S0−cX>(p+ST−c)\begin{aligned}c + \frac{X}{1+r(T-t)} &> p + S_0\\ \frac{X}{1+r(T-t)} &> p + S_0-c\\ X &> (p + S_T-c)\\\end{aligned}c+1+r(T−t)X​1+r(T−t)X​X​>p+S0​>p+S0​−c>(p+ST​−c)​

• 卖出看涨期权(+c+c+c)，买入看跌期权和股票(−p-p−p)，借入所需资金(−S0-S_0−S0​)，最终需还 (p+ST−c)(p + S_T-c)(p+ST​−c) 终值
• 到期时，无论股指高于或低于行权价 XXX ，投资者均以 XXX 元卖出手中股票，获得 X−STX-S_TX−ST​，与手中股票多头抵消，最终获得 XXX
• 获利: X−(p+ST−c)X-(p+S_T-c)X−(p+ST​−c)
• 若扣除 税费等其他因素 仍然赚钱 那么 这交易策略现实可行

反向套利操作 （Reversal）

c+X1+r(T−t)<p+S0X1+r(T−t)<p+S0cX<(p+ST−c)\begin{aligned}c + \frac{X}{1+r(T-t)} &< p + S_0\\ \frac{X}{1+r(T-t)} &< p + S_0c\\ X &< (p + S_T-c)\\\end{aligned}c+1+r(T−t)X​1+r(T−t)X​X​<p+S0​<p+S0​c<(p+ST​−c)​

• 买入看涨期权(−c-c−c)，卖出看跌期权和股票(+p+p+p)，贷出资金(+S0+S_0+S0​)，最终收入 (p+S0−c)(p + S_0-c)(p+S0​−c) 终值
• 到期时，无论股指高于或低于行权价 XXX ，投资者均以 XXX 元买入期权股票，获得 ST−XS_T-XST​−X，与手中股票空头抵消，最终结果 −X-X−X
• 获利: (p+ST−c)−X(p+S_T-c)-X(p+ST​−c)−X
• 若扣除 税费等其他因素 仍然赚钱 那么 这交易策略现实可行

PCP 期货套利

F 期货价格

• PCP 平价组合

c+X1+r(T−t)=p+F1+r(T−t)c + \frac{X}{1+r(T-t)} = p + \frac{F}{1+r(T-t)}c+1+r(T−t)X​=p+1+r(T−t)F​

• 期货 交易成本较低 流动性较好

策略构造

保护性看跌策略

• 情形：假如投资者 买入了一份股票 又担心它会下跌
• 股票多头 + 虚值或平价看跌期权多头
• 用 PCP 平价解释：
  • 买入股票 S+pS + pS+p 买看跌期权 = 看涨多头 ccc
  • 所以构造出了看涨多头股票

• 策略特征
  • 收益无限 风险有限
  • 相对仅持有现货
    • 保留上升空间，保护下跌风险
    • 支付成本：盈亏平衡点提高，上涨时相对盈利少
• 适用情形：保守牛市预期
  • 用看跌期权多头保护股票价格下跌风险

备兑看涨策略

• 持有现货 卖出平价或虚值看涨期权

• 股票 + 平价看涨期权空头

• 股票 + 虚值看涨期权空头

• 策略特征

  • 收益有限而风险较大
  • 相对仅有现货
    • 下跌风险降低：增加收入；盈亏平衡点下降
    • 上升空间受限

• 适用情形

  • 增加收入（因各种原因无法出售）
  • 约束盈利离场价位

期权风险分析

• 期权价格同时受到 标的价格方向 和 波动率 的影响

• 期权空头：

  • 最大收益为期权费收入：大概率
  • 最大亏损无限或较大：小概率
  • 但小概率事件一旦发生，可能亏损严重
  • 保证金制度的约束（保证金不足需要追加）

• 期权多头：

  • 盈利时汇报率较高，且最大亏损为期权费收入
  • 亏损是大概率事件，且可能亏损 100%
  • 无保证金制度约束
  • 谨防虚值期权爆炒风险：期权与权证不同

Black-Scholes-Merton 公式

• 欧式定价基准模型
• 无红利欧式期权定价公式为例：

c=SN(d1)−Xe−r(T−t)N(d2)p=Xe−r(T−t)N(−d2)−SN(−d1)d1=ln⁡(S/X)+(r+σ2/2)(T−t)σT−t=ln⁡(SX)σT−t+rσT−t+σ2T−td2=ln⁡(S/X)+(r−σ2/2)(T−t)σT−t=d1−σT−t\begin{aligned}c &= SN(d_1)-Xe^{-r(T-t)}N(d_2)\\ p &= Xe^{-r(T-t)}N(-d_2)-SN(-d_1)\\ d_1 &= \frac{\ln(S/X)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \\ &= \frac{\ln(\frac{S}{X})}{\sigma \sqrt{T-t}}+ \frac{r}{\sigma} \sqrt{T-t}+\frac{\sigma}{2}\sqrt{T-t}\\ d_2 &= \frac{\ln(S/X)+(r-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}\\ &= d_1 -\sigma\sqrt{T-t}\end{aligned}cpd1​d2​​=SN(d1​)−Xe−r(T−t)N(d2​)=Xe−r(T−t)N(−d2​)−SN(−d1​)=σT−t​ln(S/X)+(r+σ2/2)(T−t)​=σT−t​ln(XS​)​+σr​T−t​+2σ​T−t​=σT−t​ln(S/X)+(r−σ2/2)(T−t)​=d1​−σT−t​​

c 看涨期权价格
p 看跌期权价格
S 标的资产现价
X 行权价
r 无风险利率
T 到期时刻
t 当前时刻

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