华中科技大学2017年数学分析高等代数考研试题

数分

1，$ \lim_{x\rightarrow+\infty} (x-x^2\ln(1+\frac{1}{x})) $

2，求$\iint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy $ 其中$\Sigma $为$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$的上半球面

3，求$ \Sigma_{n=1}^\infty \frac{x^2n}{2n+1} $的收敛域以及和函数

4，$b>a>0$ 求$\int_0^{+\infty}\frac{e^{-bx}-e^{-ax}}{x}dx $

5, 求$f(x)=arcsin(cos(x))$的傅里叶级数，并讨论收敛性，计算$\Sigma_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} $

6,${a_n}$有上界且单调递增，用确界存在定理证明数列收敛

7，$f(x)$在[a,b]连续，在（a,b）可微，$\lim_{x\rightarrow a+}f'(x)$存在且有限，证明$f(x)$在a+处可导

8，$\Sigma_{n=0}^{+\infty} a_n$条件收敛，令$a_n^+ = \max({a_n},{0}),a_n^-= max(-an,0)$,证明$\lim_{n->+\infty} \mid \frac{\Sigma_{k=0}^{+\infty}a_k^+}{\Sigma_{k=0}^{+\infty}a_k^-}\mid = 1$

9,$f(x,t) 在R^{2*2}$上连续且二阶可微，$f_{xx}(x,t)=f_{tt}(x,t),E(t)=\frac{1}{2}\int_{t-1}^{1-t} [f_x(x,t)]^2+[f_{t}(x,t)]^2dx$,求证：E(t)在（0,1）单调递减

10，没看

感觉不是很难，大部分都会做

高代

1，求矩阵特征向量，不记得矩阵什么样子了

2，求一个二次矩阵空间上的线性映射的特征多项式，不记得矩阵什么样子了

3，已知Q是三维有理数空间，$x,y,z$是上面的向量，L是Q上的线性映射，且

$ L(x)=y ; L(y)=z ; L(z)=x+y $

证明$x,y,z$是Q上的一组基

4，已知$A,B$是n阶正交阵，证明$\mid A+B \mid \le 2^n$

5，A,B是n阶矩阵，$AB=BA=0,r(A)=r(A^2)$，证明:r(A+B)=r(A)+r(B)

6,已知A是实对称矩阵，A的n-1阶顺序主子式大于0而$\mid A \mid=0$，证明A是半正定矩阵

7，在n阶欧式空间V中，$W_1,W_2,...,W_r$是V的真子空间，求证必存在一组正交基，其中任何向量都不属于$W_1\bigcup W_2\bigcup ...\bigcup W_r$

8, 没记住要证明什么。。。

转自: http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=37138

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