关于向量值函数方程变分的一点注记

有人说，自己做的都是标量解函数的偏微分方程变分，当遇到解函数是向量值函数时，就不知道有限元空间怎么取，变分也不知道怎么做了。其实是一样的，我这里做个注记。

预备知识

矩阵内积

矩阵内积（Frobenius 含义下的）定义为：
A:B=∑i,jaijbijA: B=\sum_{i, j} a_{i j} b_{i j} A:B=i,j∑aijbij
它表示的是矩阵的对应位置相乘最后再求和。

对于矩阵内积，我们有如下性质，

DA:B=A:DTBDA:B = A:D^TBDA:B=A:DTB
AD:B=A:BDTAD:B=A:BD^TAD:B=A:BDT
A:DB=DTA:BA:DB = D^TA:BA:DB=DTA:B
A:BD=ADT:BA:BD=AD^T:BA:BD=ADT:B

它从如下表达很容易看出：
A:B=tr⁡(ATB)=tr⁡(ABT)A: B=\operatorname{tr}\left(A^{T} B\right)=\operatorname{tr}\left(A B^{T}\right) A:B=tr(ATB)=tr(ABT)

函数向量的梯度

为了方便和统一，我们以后记标量的梯度是个列向量，而矢量的梯度是个矩阵，每一行都表示矢量的某个分量的梯度，即，形如：
∇f=(fx1fy1fz1fx2fy2fz2)\nabla \mathbf{f}=\left(\begin{array}{ccc} f_{x}^{1} & f_{y}^{1} & f_{z}^{1} \\ f_{x}^{2} & f_{y}^{2} & f_{z}^{2} \end{array}\right) ∇f=(fx1fx2fy1fy2fz1fz2)
有些地方，关于矢量梯度的定义差一个转置。那么，拉普拉斯算子为：
Δf=(Δf1Δf2)\Delta \mathbf{f}=\left(\begin{array}{ccc} \Delta f_{}^{1} \\ \Delta f_{}^{2} \end{array}\right) Δf=(Δf1Δf2)

有些人的这两个的定义跟我这里的定义差一个转置。做问题搞程序的时候，要搞清楚有没有转置。

向量值有限元空间

类似于标量函数的有限元空间，考虑向量值函数有限元空间，以二维向量值为例，可以定义为:
V=span⁡{[φ10],…,[φm0],[0φ1],…,[0φm]}:=span⁡{(ϕi)}\mathbf{V}=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c} \varphi_{1} \\ 0 \end{array}\right], \ldots,\left[\begin{array}{c} \varphi_{m} \\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0 \\ \varphi_{1} \end{array}\right], \ldots,\left[\begin{array}{c} 0 \\ \varphi_{m} \end{array}\right]\right\}:=\operatorname{span}\left\{\left(\phi_{i}\right)\right\} V=span{[φ10],…,[φm0],[0φ1],…,[0φm]}:=span{(ϕi)}

常数矩阵可穿算子

所有用到常矩阵 D\mathbf{D}D 的地方，是可以随意进出梯度和散度算子的，即 ∇Du=D∇u\nabla_{} \mathbf{D} \mathbf{u}=\mathbf{D} \nabla_{} \mathbf{u}∇Du=D∇u ，且 div⁡Du=Ddiv⁡\operatorname{div} \mathbf{D u}=\mathbf{D} \operatorname{div}divDu=Ddiv 。再一个对于矩阵的散度和梯度算子，是支持分块矩阵的操作的。

举个简单的例子

有了以上的准备，我们举个简单的例子来看向量值解的方程的变分，
我们考虑这样一个例子:

{ut−duuΔu−duvΔv=au(1−u)−buvu+αvt−dvuΔu−dvvΔv=cuvu+α−dv\left\{\begin{array}{l} u_{t}-d_{u u} \Delta_{} u-d_{u v} \Delta_{} v=a u(1-u)-b \frac{u v}{u+\alpha} \\ v_{t}-d_{v u} \Delta_{} u-d_{v v} \Delta_{} v=c \frac{u v}{u+\alpha}-d v \end{array}\right. {ut−duuΔu−duvΔv=au(1−u)−bu+αuvvt−dvuΔu−dvvΔv=cu+αuv−dv

令 u=[u,v]T\mathbf{u}=[u, v]^{T}u=[u,v]T ，那么上面的方程组可以写为:
ut−DΔu=f(u)\mathbf{u}_{t}-D \Delta{} \mathbf{u}=\mathbf{f}(\mathbf{u}) ut−DΔu=f(u)
做变分就得到：
∫ut⋅v+∫∇u:∇(DTv)=∫f(u)⋅v\int \mathbf{u}_{t} \cdot \mathbf{v}+\int \nabla_{} \mathbf{u}: \nabla_{}\left(D^{T} \mathbf{v}\right)=\int \mathbf{f}(\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} ∫ut⋅v+∫∇u:∇(DTv)=∫f(u)⋅v
或者，
∫ut⋅v+∫D∇u:∇v=∫f(u)⋅v\int \mathbf{u}_{t} \cdot \mathbf{v}+\int D\nabla_{} \mathbf{u}: \nabla_{}\mathbf{v}=\int \mathbf{f}(\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} ∫ut⋅v+∫D∇u:∇v=∫f(u)⋅v

PS：
很多人不太理解，为什么 DDD 写在了这个地方，第一个还多了一个转置。这个和我们对向量函数的定义有关。一般来说，我们喜欢把梯度定义为列向量，一列一列地来，但是上述的关于向量值函数的梯度，却是对每个分量求梯度，然后按行排的，这是反直觉的，所以导致了这个地方的 DDD 并不是在 u\mathbf{u}u 前面。
为了和标量函数的梯度是列向量这个事情统一，假设我修改向量值函数梯度和拉普拉斯的定义如下：
∇f=(fx1fy1fz1fx2fy2fz2)T\nabla \mathbf{f}=\left(\begin{array}{ccc} f_{x}^{1} & f_{y}^{1} & f_{z}^{1} \\ f_{x}^{2} & f_{y}^{2} & f_{z}^{2} \end{array}\right)^T ∇f=(fx1fx2fy1fy2fz1fz2)T
Δf=(Δf1Δf2)T\Delta \mathbf{f}=\left(\begin{array}{ccc} \Delta f_{}^{1} \\ \Delta f_{}^{2} \end{array}\right)^T Δf=(Δf1Δf2)T
那么上述问题就应该写为：
ut−(ΔuDT)T=f(u)\mathbf{u}_{t}- (\Delta{} \mathbf{u}D^T)^T=\mathbf{f}(\mathbf{u}) ut−(ΔuDT)T=f(u)
此时我们再做变分，可以得到的是，
∫ut⋅v+∫∇uDT:∇v=∫f(u)⋅v\int \mathbf{u}_{t} \cdot \mathbf{v}+\int \nabla_{} \mathbf{u}D^T: \nabla_{}\mathbf{v}=\int \mathbf{f}(\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} ∫ut⋅v+∫∇uDT:∇v=∫f(u)⋅v
再在 ∇u\nabla_{} \mathbf{u}∇u 和 ∇v\nabla_{} \mathbf{v}∇v 头上加转置变回原来的定义方式，就得到了最开始的上述的表达。

这几行 PS 描述，似乎有点扯淡，这是因为这种情况下，只要保持 ∇u\nabla_{} \mathbf{u}∇u 和 ∇v\nabla_{} \mathbf{v}∇v 定义的方向一致即可，所以不看也罢。

接着考虑向量变分形式的有限元离散，向量有限元空间，定义为:
V=span⁡{[φ10],…,[φm0],[0φ1],…,[0φm]}:=span⁡{(ϕi)}\mathbf{V}=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c} \varphi_{1} \\ 0 \end{array}\right], \ldots,\left[\begin{array}{c} \varphi_{m} \\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0 \\ \varphi_{1} \end{array}\right], \ldots,\left[\begin{array}{c} 0 \\ \varphi_{m} \end{array}\right]\right\}:=\operatorname{span}\left\{\left(\phi_{i}\right)\right\} V=span{[φ10],…,[φm0],[0φ1],…,[0φm]}:=span{(ϕi)}
和标量有限元离散同样的套路，令
u=∑i=1nuiϕi\mathbf{u}=\sum_{i=1}^{n} u_{i} \phi_{i} u=i=1∑nuiϕi
依次取 v=ϕi\mathbf{v}=\phi_{i}v=ϕi ，做向量形式的有限元离散，最后可得:
Mu⃗t+Au⃗=[fu(ϕi)]n×1M \vec{u}_{t}+A \vec{u}=\left[f_{u}\left(\phi_{i}\right)\right]_{n \times 1} Mut+Au=[fu(ϕi)]n×1
其中，
M=[∫ϕi⋅ϕj]n×nM=\left[\int \phi_{i} \cdot \phi_{j}\right]_{n \times n} M=[∫ϕi⋅ϕj]n×n
A=[∫∇ϕi:D∇ϕj]n×nA=\left[\int \nabla_{} \phi_{i}: D\nabla_{} \phi_{j}\right]_{n \times n} A=[∫∇ϕi:D∇ϕj]n×n
fu(ϕi)=∫f(u)⋅ϕif_{u}\left(\phi_{i}\right)=\int \mathbf{f}(\mathbf{u}) \cdot \phi_{i} fu(ϕi)=∫f(u)⋅ϕi
事实上，这个离散系统本质上和对原方程组两个式子分别做变分（用同一个测试空间），最后再拼接组合成一个代数方程组是一样的，即:
(Ms00Ms)u⃗t+(duuAsduvAsdvuAsdvvAs)u⃗=[{f1(u,φi)},{f2(u,φi)}]T\left(\begin{array}{cc} M_{s} & 0 \\ 0 & M_{s} \end{array}\right) \vec{u}_{t}+\left(\begin{array}{cc} d_{u u} A_{s} & d_{u v} A_{s} \\ d_{v u} A_{s} & d_{v v} A_{s} \end{array}\right) \vec{u}=\left[\left\{f_{1}\left(\mathbf{u}, \varphi_{i}\right)\right\},\left\{f_{2}\left(\mathbf{u}, \varphi_{i}\right)\right\}\right]^{T} (Ms00Ms)ut+(duuAsdvuAsduvAsdvvAs)u=[{f1(u,φi)},{f2(u,φi)}]T
这里的 MsM_{s}Ms 和 AsA_{s}As 的下标 sss 表示的是 u,vu, vu,v 所同属的空间 VVV 中的质量矩阵和刚度矩阵。