单叶双曲面母直线参数的几何意义

我们已知单叶双曲面的方程如下

x2a2+y2b2−z2c2=1x2a2+y2b2−z2c2=1

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
两族母直线分别为

{xa+zc=v(1+yb)1−yb=v(xa−zc)，v为参数(1)(1){xa+zc=v(1+yb)1−yb=v(xa−zc)，v为参数

\begin{cases} \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=v(1+\frac{y}{b}) \\ 1-\frac{y}{b}=v(\frac{x}{a}-\frac{z}{c})， \text{$v$为参数} \end{cases} \tag{1}
和

{xa+zc=μ(1−yb)1+yb=μ(xa−zc)，μ为参数{xa+zc=μ(1−yb)1+yb=μ(xa−zc)，μ为参数

\begin{cases} \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=\mu(1-\frac{y}{b}) \\ 1+\frac{y}{b}=\mu(\frac{x}{a}-\frac{z}{c})， \text{$\mu$为参数} \end{cases}
下面我们开始探究母直线族中参数 vvv的几何意义,以（1）为例

令z=0" role="presentation" style="position: relative;">z=0z=0z=0(考察 OxyOxyOxy平面对曲面的截面），得到

{xa=v(1+yb)1−yb=v⋅xa，v为参数(1)(1){xa=v(1+yb)1−yb=v⋅xa，v为参数

\begin{cases} \frac{x}{a}=v(1+\frac{y}{b}) \\ 1-\frac{y}{b}=v\cdot\frac{x}{a}， \text{$v$为参数} \end{cases} \tag{1}
解出 xxx、y" role="presentation" style="position: relative;">yyy：

{x=a⋅2v1+v2y=b⋅1−v21+v2{x=a⋅2v1+v2y=b⋅1−v21+v2

\begin{cases} x=a\cdot\frac{2v}{1+v^2} \\ y=b\cdot\frac{1-v^2}{1+v^2} \\ \end{cases}
这种形式启发我们进行代换： v=tanθ2v=tanθ2v=tan\frac{\theta}{2}，进行简单的运算得到

{x=a⋅cosθy=b⋅sinθ{x=a⋅cosθy=b⋅sinθ

\begin{cases} x=a\cdot cos\theta \\ y=b\cdot sin\theta \\ \end{cases}
注意到这是双曲面被Oxy平面所截的截面方程， θθ\theta为椭圆截面的离心角，由此得出结论

vvv为母直线与截面椭圆相交点半离心角的正切值

（关于μ" role="presentation" style="position: relative;">μμ\mu的结论类似，只是和vv<script type="math/tex" id="MathJax-Element-2000">v</script>的结果在y处差一个负号）

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