直线的参数方程ABC【基础中级高阶辅导】

前言

一、储备待用

可借助数轴来理解$t$的几何意义

①如右图所示，水平放置的数轴，其上的点A、O、B、C、D分别代表实数-2，0，1，2，3；动点对应的实数标记为$t$，那么$t=2$就对应点C，$t=-2$就对应点A，$t=0$就对应点O，$t=1$就对应点B，当变量$t$取遍所有的实数，那么动点就能代表数轴上所有的实数。

那么线段$AB=|t_A-t_B|=|-2-1|=3$；线段$BD=|t_B-t_D|=|1-3|=2$；

二、参数方程

知识点如图所示，已知给定直线$l$的倾斜角为$\theta，\theta\in [0，\pi)$，且经过定点$P_0(x_0,y_0)$，在这条直线上有一动点$P(x，y)$，那么怎么表示这条直线的参数方程呢？

【思路1】我们这样做，如果取直线$l$的单位方向向量$\vec e=(cos\theta,sin\theta)$，

由平面向量共线定理可知，存在唯一确定的常数$t$，使得向量$\small{\overrightarrow{P_{0}P}}=t\cdot \vec e$，

即$(x-x_0，y-y_0)=t(cos\theta，sin\theta)$，即$x-x_0=t\cdot cos\theta$；$y-y_0=t\cdot sin\theta$，

这样这条直线上的任意一个动点$P$的坐标可以表示为

\[\bbox[15px,yellow,border:2px dashed red]{\begin{cases}x=x_0+cos\theta\cdot t\\y=y_0+sin\theta\cdot t\end{cases}(t为参数)}\]

由于动点的坐标可以刻画这条直线上的所有的点，因此我们称上式为倾斜角为$\theta$，经过定点$P_0(x_0,y_0)$的直线$l$的参数方程。

【思路2】直线的参数方程的来源：演示课件

二、答疑解惑

解疑01$t$的几何意义是什么？如果我们当时取得方向向量不是单位向量，又会如何？

答：当我们取的是单位方向向量，则由向量共线定理知道，向量$|\overrightarrow{P_0 P}|=|\vec e||t|=|t|$，故$t$的几何意义是有向线段$P_0P$的数量(或有向线段的位移)；

如果当时取的不是单位向量，则$t$不是有向线段$P_0P$的数量。

解疑02$t$一定为正值吗？

答：$t$为0，为正，为负都可以，如上图，$t>0$；$P$和$P_0$重合时，$t=0$；

如果我们当时取的单位方向向量和$\vec e$相反，则$t<0$。

解疑03 给定倾斜角和定点坐标，你能仿上写出直线的参数方程吗？

答：如已知给定直线的倾斜角为$\beta=\cfrac{\pi}{3}$，过定点$A(2，1)$，

则我们可以写出参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cos\cfrac{\pi}{3}\cdot m} \\{y=1+sin\cfrac{\pi}{3}\cdot m}\end{array}\right.(m为参数)$.

解疑04 给定直线的参数方程，你能找出倾斜角和定点坐标吗？

答：如给定$\begin{cases} x=-1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot n \\ y=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot n \end{cases}(n为参数)$，则我们可以知道倾斜角为$\cfrac{\pi}{4}$，过定点$(-1，0)$；

如果给定$\begin{cases} x=-1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot n \\ y=2-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot n \end{cases}(n为参数)$，你都能用什么思路求得定点坐标和倾斜角？

定点的坐标容易求解，是$(-1，2)$，但是倾斜角的求解需要注意：

思路1：必须把参数方程变换为$\begin{cases} x=-1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot (-n) \\ y=2+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot (-n) \end{cases} (-n为参数)$，

即就是$\begin{cases} x=-1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot m \\ y=2+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot m \end{cases} (-n=m，m为参数)$，

所以倾斜角是$\cfrac{3\pi}{4}$，为什么要调整？由原来的参数方程直接得到的倾斜角是$\cfrac{7\pi}{4}\notin [0，\pi)$，需要往回旋转$\pi$。

解疑05 是不是随便给一个直线的参数方程，$t$的几何意义都是这样的？

答：不是的，如给定$\begin{cases}x=-1+ n \\ y=1- n\end{cases}(n为参数)$，

$n$的几何意义不是有向线段$P_0P$的数量，这种形式只是直线的参数方程的一般形式，需要转换为标准形式。

解疑06 如何把一个直线的参数方程的一般式转化为标准式？

答：我们注意到$\begin{cases} x=x_0+cos\theta\cdot t \\ y=y_0+sin\theta\cdot t \end{cases}(t为参数)$方程组中的参数$t$的两个系数的平方和是1，

即$cos^2\theta+sin^2\theta=1$，这就保证了选取的向量是单位向量，如上给定$\begin{cases} x=-1+ n \\ y=1- n \end{cases}(n为参数)$，

说明选取的向量坐标是$（1，-1）$，此时我们需要将其调整为$（-1，1）$，以保证$cos\theta \in [-1，1]，sin\theta\in [0，1]$，

那么转换为单位向量是$(-\cfrac{1}{\sqrt{2}},+\cfrac{1}{\sqrt{2}})$，即$(-\cfrac{\sqrt{2}}{2},+\cfrac{\sqrt{2}}{2})$，

这样参数方程的一般式就可以改写为标准式$\begin{cases} x=-1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot m \\ y=1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot m \end{cases}(m为参数)$，

这样我们就能放心的利用直线参数方程的$m$的几何意义解题了。

具体的变换如下：$\begin{cases} x=-1+ n=-1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}(-\sqrt{2}n)=-1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}m \\ y=1- n=1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}(-\sqrt{2}n)=1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}m \end{cases}(m为参数,m=-\sqrt{2}n)$；

即$\begin{cases} x=-1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}m \\ y=1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}m \end{cases} (m为参数)$

解疑07 我们为什么要学习参数方程，参数方程比之其他方程有什么好处？

答：参数方程的参数一般都是有其对应的几何意义，所以利用其几何意义可以解决一部分问题，这是优越性之一；
其二有了参数的介入，使得方程中的未知数之间的的关系变得间接化，这在直线的参数方程中体现的不是很明显，

在圆的参数方程中就体现的非常明显，如$x^2+y^2=1$，引入参数$\theta$后，

圆上的动点的坐标就是$(cos\theta，sin\theta)$,比如在求解圆上的点到直线的最短距离就非常的方便；

再比如，解三角形中，如果已知$a：b：c=3：2：4$，如果我们引入参数$k（k>0）$，则可以方便的单独表示$a=3k，b=2k，c=4k$。

三、相关公式

绝对值的定义，此处涉及去掉参数$t$中的绝对值符号；
韦达定理及其变形，涉及运算变形，比如$|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_2t_2}$；
变形运算，比如将直线的参数方程代入圆的普通方程。
三角函数运算，比如辅助角公式的变形，比如求$y=2sin(2\theta+\cfrac{\pi}{3})$的取值范围；
积的符号法则，比如$a+b>0$且$ab>0$，则可知$a>0$且$b>0$；$a+b>0$且$ab<0$，则可知$a$、$b$异号；$a+b<0$且$ab>0$，则可知$a<0$且$b<0$。
代入运算的小技巧，比如将$x=-1+tcos\alpha$，$y=1+tsin\alpha$代入方程$x^2+y^2-4x$，注意对齐书写

$1-2tcos\alpha+t^2cos^2\alpha$

$1+2tsin\alpha+t^2sin^2\alpha$

$4-4tcos\alpha$

整理得到，$t^2+(2sin\alpha-6cos\alpha)t+6=0$。

四、小试牛刀

例01【简单情形，定直线】在直角坐标系$xOy$中，直线$l$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot t}\\{y=\sqrt{5}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot t}\end{array}\right.(t为参数)$，在极坐标系中圆$C$的方程为$\rho=2\sqrt{5}sin\theta$.

⑴求圆的直角坐标方程；

⑵设圆$C$与直线$l$交于点$A、B$，若点$P$的坐标为$(3，\sqrt{5})$，求$|PA|+|PB|$.

分析： ⑴简解，$x^2+(y-\sqrt{5})^2=5$

⑵思路一：将直线和圆的直角坐标方程联立，求得交点$A、B$的坐标，能否用两点间的坐标公式求解$|PA|+|PB|$.

思路二：利用直线参数方程的参数的几何意义，

将直线的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot t}\\{y=\sqrt{5}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot t}\end{array}\right.(t为参数)$，代入圆的直角坐标方程，

得到$(3-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot t)^2+(\sqrt{5}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot t -\sqrt{5})^2=5$整理为$t^2-3\sqrt{2}t+4=0$，

由于$\Delta >0$，故可设点$A、B$分别对应参数$t_1，t_2$，

则$\begin{cases} t_1+ t_2=3\sqrt{2} \\ t_1\times t_2=4 \end{cases}$，

由此可以看出$t_1>0，t_2>0$，故$|PA|=t_1，|PB|=t_2$，所以$|PA|+|PB|=3\sqrt{2}$.

【延伸考查】①$|AB|$；②$|PA|\cdot |PB|=|t_1|\cdot|t_2|=|t_1 \cdot t_2|$；

③$\cfrac{1}{|PA|}+\cfrac{1}{|PB|}=\cfrac{|PA|+|PB|}{|PA||PB|}$，④$|PA|^2+|PB|^2=t_1^2+t_2^2=(t_1+t_2)^2-2t_1t_2$；

⑤$||PA|-|PB||=||t_1|-|t_2||$；⑥$\cfrac{|PA|}{|PB|}+\cfrac{|PB|}{|PA|}=\cfrac{t_1^2+t_2^2}{|t_1t_2|}$；

⑦$\cfrac{|PD|}{|PA||PB|}=\cfrac{\cfrac{t_1+t_2}{2}}{|t_1||t_2|}$，其中点$D$为弦$AB$的中点。

例题02【引申情形，动态直线】在极坐标系中，已知圆$C$的圆心$C(\sqrt{2}，\cfrac{\pi}{4})$，半径$r=\sqrt{3}$，

（1）求圆$C$的极坐标方程。

（2）若$\alpha \in[0，\cfrac{\pi}{4}]$，直线$l$的参数方程为$\begin{cases} x=2+cos\alpha\cdot t \\ y=2+sin\alpha\cdot t \end{cases} (t为参数)$

直线$l$交圆$C$于$A、B$两点，求弦长$|AB|$的取值范围。

解：（1）圆$C$的圆心$C(\sqrt{2}，\cfrac{\pi}{4})$，得$C$的直角坐标为$(1,1)$，

所以圆$C$的直角坐标方程为$(x-1)^2+(y-1)^2=3$，由$x=\rho cos\theta,y=\rho sin\theta$得到，

圆$C$的极坐标方程为$\rho^2-2\rho cos\theta-2\rho sin\theta-1=0$。

（2）将 $\begin{cases} x=2+cos\alpha\cdot t \\ y=2+sin\alpha\cdot t \end{cases} (t为参数)$

代入圆$C$的直角坐标方程为$(x-1)^2+(y-1)^2=3$，

得到$t^2+2(cos\alpha+sin\alpha)t-1=0$，

则有$\Delta=4(cos\alpha+sin\alpha)^2+4>0$，

设$A、B$两点对应的参数分别为$t_1，t_2$，

则由韦达定理可知，$t_1+t_2= -2(cos\alpha+sin\alpha)，t_1\cdot t_2= -1$

所以弦长$|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\sqrt{8+4sin2\alpha}$，

由于$\alpha \in[0,\cfrac{\pi}{4}]$，所以$sin2\alpha\in[0，1]$，$8+4sin2\alpha\in[8，12]$，

所以弦长$|AB|\in[2\sqrt{2}，2\sqrt{3}]$。

例03【易错情形，需要提取题中$\theta$的范围】在直角坐标系$xOy$中，直线$l$是过定点$P(4，2)$且倾斜角为$\alpha$的直线；在极坐标系中，曲线$C$的极坐标方程为$\rho=4cos\theta$.

⑴写出直线$l$的参数方程，并将曲线$C$的极坐标方程化为直角坐标方程；

⑵若曲线$C$与直线$l$相交于不同的两点$M、N$，求$|PM|+|PN|$的取值范围.

分析：⑴直线$l$的参数方程为$\begin{cases} x=4+cos\alpha\cdot t \\ y=2+sin\alpha\cdot t \end{cases}(t为参数)$，曲线$C$的直角坐标方程为$x^2+y^2=4x$；

⑵课件地址

法1：几何法，不具备通用性，比如圆锥曲线，

法2：通法，将$\begin{cases} x=4+cos\alpha\cdot t \\ y=2+sin\alpha\cdot t \end{cases}(t为参数)$代入$C：x^2+y^2=4x$，

得到$t^2+4(sin\alpha+cos\alpha)t+4=0$，

则必然满足条件$\begin{cases} &\Delta=16(sin\alpha+cos\alpha)^2-16>0\\ &t_1+t_2=-4(sin\alpha+cos\alpha)\\&t_1\cdot t_2=4\end{cases}(t为参数)$，

由此得到$sin\alpha\cdot cos\alpha>0$，又$\alpha\in [0，\pi)$，

故压缩范围得到$\alpha\in (0，\cfrac{\pi}{2})$，又由$t_1+t_2=-4(sin\alpha+cos\alpha)<0$，故可知$t_1<0$，$t_2<0$，

则$|PM|+|PN|=|t_1|+|t_2|=-(t_1+t_2)=4(sin\alpha+cos\alpha)=4\sqrt{2}sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4})$，

由$\alpha \in (0，\cfrac{\pi}{2})$ ，得到$\alpha+\cfrac{\pi}{4}\in (\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{3\pi}{4})$，

则$\cfrac{\sqrt{2}}{2}< sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4}) \leq 1$，

故$ 4\sqrt{2}\times \cfrac{\sqrt{2}}{2}< 4\sqrt{2}\cdot sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4}) \leq 4\sqrt{2}\times 1 $，

即就是$|PM|+|PN|\in(4，4\sqrt{2}] $.

例4【2019届凤中高三理科月考1第22题，利用法3求解是易错思路】

在平面直角坐标系$xoy$中，直线$l$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.(t为参数)$，以原点为极点，以$x$轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，$\odot C$的极坐标方程为$\rho^2-4\rho sin\theta-12=0$，

(1) 求$\odot C$的参数方程；

分析：将$\rho^2=x^2+y^2$，$y=\rho\cdot sin\theta$

代入$\odot C$的极坐标方程$\rho^2-4\rho sin\theta-12=0$，

得到$\odot C$的直角坐标方程为$x^2+y^2-4y-12=0$，

即$x^2+(y-2)^2=16=4^2$，

故$\odot C$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cos\theta}\\{y=2+4sin\theta}\end{array}\right.$ $(\theta为参数，\theta\in [0，2\pi))$。

(2)求直线$l$被$\odot C$截得的弦长。

【法1，几何方法，$Rt\Delta$】将直线$l$的参数方程消参，得到其普通方程为$2x-y-3=0$，

则圆心$(0，2)$到直线的距离为$d=\cfrac{|-2-3|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\sqrt{5}$，

则直线$l$被$\odot C$截得的弦长为$2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4^2-(\sqrt{5})^2}=2\sqrt{11}$。

【法2，弦长公式】设直线和圆的交点为$A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2)$，

联立得到方程组，$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3=0}\\{x^2+y^2-4y-12=0}\end{array}\right.$

消去$y$得到，$x^2+(2x-3)^2-4(2x-3)-12=0$，整理得到，$5x^2-20x+9=0$，

由韦达定理得到，$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=\cfrac{9}{5}$，

由弦长公式得到，$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$

$=\sqrt{1+2^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$

$=\sqrt{5}\sqrt{16-\cfrac{36}{5}}=2\sqrt{11}$。

【法3，利用直线的参数方程求解】图像解释

直线$l$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.(t为参数)$，

(此时千万要注意，弦长$|AB|\neq |t_1-t_2|$，原因是这个参数方程不是标准形式的)

将其做如下的转化，

$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\cfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5}t}\\{y=1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5}t}\end{array}\right.(t为参数)$，

令$\sqrt{5}t=m$，则其参数方程的标准形式为

$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\cfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot m}\\{y=1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot m}\end{array}\right.(m为参数)$，

【此时参数$m$的几何意义才是动点到静点的距离的数量，千万要注意，即弦长$|AB|=|m_1-m_2|$】

将直线$l$的参数方程的标准形式代入圆的普通方程得到，

$(2+\cfrac{1}{\sqrt{5}}m)^2+(1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}m)^2-4(1+\cfrac{2}{\sqrt{5}}m)-12=0$

整理为$m^2-11=0$，

令直线和圆的两个交点$A，B$分别对应的参数为$m_1，m_2$，

则$m_1+m_2=0$，$m_1m_2=-11$，

此时弦长$|AB|=|m_1-m_2|=\sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}=\sqrt{4\times 11}=2\sqrt{11}$。

五、熟记结论

1、当我们知道了$t_1+t_2$和$t_1t_2$的正负时，就能很快去掉绝对值符号，

比如$t_1+t_2=4>0$，$t_1t_2=-3<0$，则可知$t_1、t_2$异号，这样可以设$t_1>0，t_2<0$，或$t_1<0，t_2>0$，在这两种情形下都可以很快去掉绝对值符号。

2、$|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}$；

此时与定点所在的位置无关，在曲线内部或外部都有这样的结论；

3、当点$P$在圆锥曲线内部时，$|AB|=|PA|+|PB|=|t_1|+|t_2|=|t_1-t_2|$；

当点$P$在圆锥曲线外部时，$|AB|\neq|PA|+|PB|$；$|AB|=|t_1|+|t_2|=t_1+t_2或-(t_1+t_2)$；

课件

3、$|PA|\cdot |PB|=|t_1|\cdot|t_2|=|t_1 \cdot t_2|$；
4、$AB$的中点$Q$对应的参数为$t=\cfrac{t_1+t_2}{2}$；若定点$P$恰好是弦$AB$的中点，则有$t_1+t_2=0$
5、$\cfrac{1}{|PA|}+\cfrac{1}{|PB|}=\cfrac{|PA|+|PB|}{|PA||PB|}$，

此时要注意点$P$的位置，她会影响$|PA|+|PB|$的值。

6、$|PA|^2+|PB|^2=t_1^2+t_2^2=(t_1+t_2)^2-2t_1t_2$；
7、$||PA|-|PB||=||t_1|-|t_2||$；
8、$\cfrac{|PA|}{|PB|}+\cfrac{|PB|}{|PA|}=\cfrac{t_1^2+t_2^2}{|t_1t_2|}$；
9、$|PA|=2|PB|$，求实数$a$的值；

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9429002.html