三重积分

基础知识点1 三重积分的概念

看到这个三重积分的符号就是了：
∭\iiint ∭

基础知识点2 被积函数为1时三重积分的意义

基础知识点3 五个必须背下来的图

看到这些方程需要会画大致的图

1. 无限往上往下延伸的圆柱体的侧面

x2+y2=a2x^2 + y^2 = a^2 x2+y2=a2

1. 以原点为顶点的上下倒圆锥的侧面

z2c2=x2a2+y2b2\frac{z^2}{c^2} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} c2z2​=a2x2​+b2y2​

如果开方，则只有一半的倒圆锥c>0

1. 一个碗

cz=x2a2+y2b2cz = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} cz=a2x2​+b2y2​

1. 球半径在x0,y0,z0，半径为a的一个球
2. 椭球

核心考点1 三重积分的计算

看积分区域，决定是球坐标系还是直角坐标系

如果是球坐标系：换元之后记得被积函数乘多一个p² sin θ（z轴的角度）

如果是柱面坐标系：就使用下面的方法，将xy换成⚪的表示方法。被积函数乘多一个ρ。

再看被积函数，确定内定外二法（出现了x，y）或者内二外定（没出现x，y）

内定外二法：

外层二重积分的积分区域：投影到xOy面

内层定积分的积分上下限：在投影区域中任取一点，做平行于z周的直线。

内二外定法

外层定积分的积分上下限：z的最大值和最小值

内层二重积分的积分区域：一个与x0y面平行的面。

相关问题

1. 计算的代入问题

• 对于二重积分或三重积分，被积函数都不能代入积分区域的限制。
  （只有曲线曲面才可以代入！）

2. 求质心

与形心类似：这里增多了一个密度ρ

• 三重积分求质心：
  • x的坐标：对x*ρ的三重积分 / 对 ρ的三重积分

3. 求转动惯量

摘自百科

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