概率论由相关性求数学期望和方差的公式_概率论与数理统计（马涛）第4章——数学期望与方差.ppt...
§3. 协方差及相关系数 一 定义 设 X,Y 是两个随机变量, 称 为随机变量 X,Y 的协方差. 并称 注 1. 为随机变量 X,Y 的相关系数。 2. 是一个无量纲的量； 3. 若 , 则称 X, Y 不相关。 问: 不相关和独立性有什么关系? 定理：若 X,Y 相互独立，则 X,Y 不相关。 证明 由数学期望的性质有 又有 所以 即 注意：定理意味着若 X,Y 相关, 则一定不独立。 二 协方差的性质 三 相关系数的重要性质 证明思路: 1) 等价于Cauchy-Schwartz 不等式; 2) 从右到左直接可证, 从左到右注意: 说 明 X 与Y 之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。 例 1 可解得 则有 X，Y 独立? =0?X，Y不相关。 于是根据我们的讨论, 在服从 练习1 对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n 件仍未发现废品则认为这批产品合格(中止条件). 假设产品数量很大，抽查到废品的概率是 p，试求停止检查时,平均抽查的件数. 解 设 X 为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,…, n，且 练习 2 解： 先求： 则： 解 由定义得 * * * 如果按定义过来, 应该先求出. 但证明过程理论化较强. 可用单调函数为例来证明. * v) 也可推广到更一般的情形. 而教材中所讲述的其它性质不做讲解. 实际上这一部分可以得到一些重要的类似于积分性质的不等式. * 充分利用性质, 方便处理问题. * 方差 Variance; 标准差 standard deviation * 由此我们得到了二项分布的期望与方差, 计算中体现了性质运用的意义. * * 期望和方差在不同的分布下都有类似的意义. 下一页, 我们给出一个重要的, 反映偏离程度的量化不等式! * 有了这些具体的期望和方差,则可以和切比雪夫不等式估算的结果做对比. * 1 处问: 如果是一倍的\sigma 呢? 4 处说明Chebyshev不等式给出估算的是最低标准, 即任一随机变量都满足该不等式. * 虽然期望和方差仅是由分布算出来的两个数, 但是它们唯一确定相应的分布 * 期望和方差考察是单个随机变量的数字特征, 协方差反映的两个随机变量之间关系的数字特征. 由方差公式引入，并联系与乘积的期望。 * 问题: 反之是否成立? * 从和内积以及夹角的余弦值对比引出相关系数的性质， 不加证明。 * 此处省略验证过程，附在PPT后面。 §1 数学期望 第四章 随机变量的数字特征 一 数学期望定义 (1) 离散型 (2) 连续型 例2 试问谁的射击水平高? 例 3 两点分布的数学期望 例 4 (二项分布) 设 X～B(n,p) , 求 EX. 例 5 (正态分布) 设 , 求 EX. 解 例 6 Cauchy 分布的密度函数为 注意, 并不是每一个随机变量都有数学期望. 而 二 随机变量函数的数学期望 (1) 若 X 的分布率为 且 绝对收敛, 则 定理 1 设 Y=g(X), g(x) 是连续函数， 推广到多维变量的函数，有 解 例 8 设 (X,Y) 在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y 轴和直线x+y+1=0所围成的区域. 求 EX，E(-3X+2Y)，EXY. 三 数学期望的性质 v) 若 X , Y 独立，则 EXY=EXEY i) Ec=c，c 是常数. ii) 若 ，则 例 9 (二项分布) 设 X～B(n,p) , 求 EX. 注意, 我们在例 4 中已经由定义求出二项式分布随机变量的期望为 np. 一 定义 §2 方 差 方差描述了随机变量 X 与其均值 EX 的偏离程度。 例1 方差计算的重要公式： 证明容易. 例 2 二项分布 B(n,p) 的方差 二、方差的性质 注： 令 ，则 EY=0, DY=1 故称 Y 是随机变量 X 的标准化随机变量。 例 3 (泊松分布) 设 X 服从参数为 ? 泊松分布, 则 而 故 例 4 (均匀分布) 设随机变量 X 有密度函数 则 例 5 (正态分布) 设随机变量 , 则已有 且 定理：(切比雪夫 (Chebyshev) 不等式)设随机变量 X 的数学期望和方差都存在, 则对任意的 , 都有 证明 (只证 X 是连续型) 推论：DX=0
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