核电站问题 动态规划
核电站问题
一个核电站有N个放核物质的坑,坑排列在一条直线上。如果连续M个坑中放入核物质,则会发生爆炸,
于是,在某些坑中可能不放核物质。
任务:对于给定的N和M,求不发生爆炸的放置核物质的方案总数。
输入描述 Input Description
输入文件只一行,两个正整数N,M( 2<=N<50,2≤M≤5)
输出描述 Output Description
输出文件只有一个正整数S,表示方案总数。
样例输入 Sample Input
4 3
样例输出 Sample Output
13
题解:
方法一:
从第一个坑开始放,开始dfs,每个坑都有两种可能,放或者不放,dfs(i,j)i第i个坑,j前i个坑最后j个坑都填了物质,若j达到m,则次方案不行,若没有m,继续
#include<stdio.h>int n,m,ans=0;int dfs(int i,int j){if(j==m) return 0;//如果有连续的m坑都有物质,此方案不行 if(i==n) {ans++;//能到n,说明之前没有连续的m坑都有物质,此方案可以return 1;} int ans=0;dfs(i+1,0);//第i+1个坑里没有物质,之后的坑里是否放物质与前面没有联系了 dfs(i+1,j+1);//前i+1个坑中最后连续j+1个坑里都有物质,
}
int main(){int res;scanf("%d%d",&n,&m);dfs(0,0);//从第0个坑里开始放 printf("%d",ans);
}
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方二:
dp[n]表示在n个坑中,每个坑都有两种可能,放或者不放,但不能有连续m个坑里都有物质
从头开始向后放,每个坑都有两种可能,放或者不放
开头前i个连续的坑中都有核物质(0<=i<=m-1),则第i+1个坑必空。 i+1后面的坑再放和前面的就又没关系了
i=0时的放法为dp[n-1]; 在后n-1个坑中,每个坑都有两种可能,放或者不放,但不能有连续m个坑里都有物质
i=1时的放法为dp[n-2]; 在后n-2个坑中…………
……………………;
i=m-1时的放法为dp[n-m]。 在后n-m个坑中…………
得dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]+……+dp[n-m] 。
当n<=m-1时: dp[n]=2*dp[n-1] (无论放还是不放,都不会有连续m个坑里都有)
当n==m时: dp[n]=2*dp[n-1] -1(减去每个坑里都有核物质这种情况)
当n>m时:
dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]+……+dp[n-m]
dp[n-1]=dp[n-2]+……+dp[n-m]
两式相减得:
dp[n]=dp[n-1]*2-dp[n-m-1]
#include<stdio.h>int main(){int n,m,i;scanf("%d%d",&n,&m);long long dp[n+1];dp[0]=1;//n>1,m>1;for(i=1;i<=n;i++){if(i<m) dp[i]=dp[i-1]*2;else if(i==m) dp[i]=dp[i-1]*2-1;else dp[i]=dp[i-1]*2-dp[i-m-1];}printf("%lld",dp[n]);
}
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