洛谷 P1551 亲戚

题目链接：亲戚 - 洛谷

题目详情：

若某个家族人员过于庞大，要判断两个是否是亲戚，确实还很不容易，现在给出某个亲戚关系图，求任意给出的两个人是否具有亲戚关系。规定：x 和 y 是亲戚，y 和 z 是亲戚，那么 x 和 z 也是亲戚。如果 x，y 是亲戚，那么 x 的亲戚都是 y 的亲戚，y 的亲戚也都是 x 的亲戚。

输入格式：

第一行：三个整数 n,m,p，（n,m,p ≤ 5000），分别表示有 n 个人，m 个亲戚关系，询问 p 对亲戚关系。

以下 m 行：每行两个数 M i，M j，1 ≤ M i, M j ≤ N，表示 M i 和 M j 具有亲戚关系。

接下来 p 行：每行两个数 P i，P j，询问 P i 和 P j 是否具有亲戚关系。

输出格式：

p 行，每行一个 Yes 或 No。表示第 i 个询问的答案为“具有”或“不具有”亲戚关系。

输入输出样例：

输入 #1
6 5 3
1 2
1 5
3 4
5 2
1 3
1 4
2 3
5 6
输出 #1
Yes
Yes
No

题目分析：

比较基础的一道并查集题目，下面简单介绍一下并查集并逐步分析：

并查集主要用于处理一些不相交集合的合并问题。主要有两部分操作：1.合并：把两个不相交的集合合并为一个集合；2.查找：查找两个元素是否在同一个集合里。

初始化：
#define max 10001
int fa[max];//用数组来储存集合元素
void init_set(int n)//将n个元素设为n个独立的集合
{for (int i = 1; i <= n; i++){fa[i] = i;}
}
图解（1，2，3为3个独立的集合）

本题中先初始化将每个人的祖先设置为自己，每人单独为一个集合。

合并：
void union_set(int i, int j)//将j合并到i的集合中
{fa[find_set(i)] = find_set(j);//find_set为查找部分函数
}
图解（将 2 和 3 合并到 1 集合中形成树形结构，其中1为树的根节点）

本题中将输入的m行中具有亲戚关系的两人合并为1个集合（将两人的祖先合并，设后一个人的祖先是前面的那个人）。

合并优化——按秩合并（将简单的树合并到复杂的树中，避免合并后增加树的高度）：

图解（给出两个集合和2种合并方法）

合并方法1：将7的父节点设为1

合并方法2：将1的父节点设为7

由图分析可得将7的父节点设为1比较好（将第二个集合合并到集合1中）。因此我们在合并时应该把简单的树合并到复杂的树中，这样每个节点到根节点的距离不会变长，我们在查找时就会节省时间。在合并时我们需要一个数组height[ ]来标记,在初始化时用height[ i ]把所有元素的高度设为1，之后在合并时更改。

初始化——按秩合并：
void init_set(int n)//将n个元素设为n个独立的集合
{for (int i = 1; i <= n; i++){fa[i] = i;height[i] = 1;//初始设所有元素的秩为1}
}
合并——按秩合并：
void union_set(int i, int j)//合并
{i = find(i);//先找到要合并的i和j的根节点j = find(j);if (height[i] == height[j])//两个树的深度相同{height[i]++;//树的秩+1fa[j] = i;}if (height[i] < height[j])//i树的深度小于j树fa[i] = j;//将j设为i的父节点(把i合并到j中)if (height[i] > height[j])fa[j] = i;//将i设为j的父节点
}
本题最后代码并没有用到按秩合并！

查找：
int find_set(int x)
{if (fa[x] == x)//元素的值和集相等return x;elsereturn find_set(fa[x]);//继续访问父节点
}
本题中不断查找判断两人的祖先（根节点）是否相同，然后再输出判断结果。

因为初始查找的效率比较低，我们会在返回时顺便把x所属的集改成根节点，每个元素到根节点的路径就缩短了，时间复杂度就由O(n)变为小于O(logn)。

查找优化——路径压缩（递归版本）：
int find_set(int x)
{if(fa[x] == x)return x;else{fa[x] = find_set(fa[x]);//父节点设为根节点return fa[x];}
}
简写（整体代码中引用此简写的查找代码）：
int find_set(int x)//查找
{return fa[x] == x ? x : (fa[x] = find_set(fa[x]));//如果？前面条件成立返回x，否则返回fa[x] = find_set(fa[x]
}
查找优化——路径压缩（非递归版本如果担心数据规模太大爆栈可以用非递归版）：
int find_set(int x)
{int r = x;while (fa[r] != r)//找到根节点{r = fa[r];}int i = x, j;while (i != r){j = fa[i];//用临时变量j记录fa[i] = r;//把路径上元素的集改为根节点i = j;}return r;
}

c++完整代码（已ac）：

#include <iostream>
using namespace std;
#define max 5001
int fa[max];
void init_set(int n)//将n个元素设为n个独立的集合
{for (int i = 1; i <= n; i++){fa[i] = i;}
}
int find_set(int x)//查找
{return fa[x] == x ? x : (fa[x] = find_set(fa[x]));
}
void union_set(int i, int j)//合并
{fa[find_set(i)] = find_set(j);//将i和j的祖先合并
}
int main()
{int n, m, p, x, y;cin >> n >> m >> p;init_set(n);//家族人数读入for (int i = 0; i < m; i++)//将有亲戚关系的进行合并{cin >> x >> y;union_set(x, y);}for (int i = 0; i < p; i++){cin >> x >> y;if (find_set(x) == find_set(y))//双方是亲戚{cout << "Yes" << endl;}else{cout << "No" << endl;}}return 0;
}

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