CodeForces 285 E.Positions in Permutations（dp+组合数学）

Description

定义一个排列的权为满足|pi−i|=1|p_i-i|=1的ii的个数，问长度为nn的排列且权为kk的有多少个

Input

两个整数n,k(1≤n≤1000,0≤k≤n)n,k(1\le n\le 1000,0\le k\le n)

Output

输出满足条件的排列数，结果模109+710^9+7

Sample Input

3 2

Sample Output

Solution

第ii个位置想合法必然要放i−1i-1或i+1i+1，但i−1i-1可能会被第i−2i-2个位置用了，所以用dp[i]][j][x][y]dp[i]][j][x][y]表示前ii个位置权为jj且第ii个位置被使用x=1x=1(没被使用(x=0)(x=0))，第i+1i+1个位置被使用y=1y=1(没被使用(y=0)(y=0))，考虑当前位放i−1i-1或i+1i+1或其他数字有转移方程

dp[i][j+1][y][0]+=dp[i−1][j][0][y]dp[i][j+1][y][0]+=dp[i-1][j][0][y]

dp[i][j+1][y][1]+=dp[i−1][j][x][y],i<ndp[i][j+1][y][1]+=dp[i-1][j][x][y],i

dp[i][j][y][0]=dp[i−1][j][x][y]dp[i][j][y][0]=dp[i-1][j][x][y]

令f[i]=(n−i)!⋅∑x=01∑y=01dp[n][i][x][y]f[i]=(n-i)!\cdot \sum\limits_{x=0}^1\sum\limits_{y=0}^1dp[n][i][x][y]，则f[i]f[i]为权至少为ii的排列个数，那么对于i<ji，权至少为jj的排列在权至少为ii的排列中出现了CijC_j^i次，所以有f[i]−=Cij⋅f[j]f[i]-=C_j^i\cdot f[j]，最终f[k]f[k]即为答案

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1005;
#define mod 1000000007
int C[maxn][maxn],fact[maxn];
void add(int &x,int y)
{x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
void sub(int &x,int y)
{x=x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
void init(int n=1000)
{C[0][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){C[i][0]=C[i][i]=1;for(int j=1;j<i;j++)add(C[i][j],C[i-1][j-1]+C[i-1][j]);}fact[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=(ll)i*fact[i-1]%mod;
}
int n,k,dp[maxn][maxn][2][2],f[maxn];
int main()
{init();scanf("%d%d",&n,&k);dp[0][0][1][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<i;j++)for(int x=0;x<=1;x++)for(int y=0;y<=1;y++){if(!x)add(dp[i][j+1][y][0],dp[i-1][j][x][y]);if(i<n)add(dp[i][j+1][y][1],dp[i-1][j][x][y]);add(dp[i][j][y][0],dp[i-1][j][x][y]); }for(int i=0;i<=n;i++)for(int x=0;x<=1;x++)for(int y=0;y<=1;y++)add(f[i],dp[n][i][x][y]);for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=(ll)f[i]*fact[n-i]%mod;for(int i=n-1;i>=k;i--)for(int j=i+1;j<=n;j++)sub(f[i],(ll)f[j]*C[j][i]%mod);printf("%d\n",f[k]);return 0;
}

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