香农采样定理及其证明

首先对采样最直观的理解就是，如果采样时间间隔过长那么采样得到的信号将不能重构出原信号。也就是说采样时间间隔越短越好，然而由于物理器件的性能，所以需要知道一个采样时间间隔的阈值。超过这个阈值原信号能够完全恢复，没有超过这个阈值则不能完全恢复。不过香农采样定理的定义肯定不是我说的这么粗糙，下面看一下香农采样定理的定义：

从上面的定义来看，貌似有些混乱了。首先需要注意到采样定理的定义是在频率下面。因为支撑集的定义是在经过傅里叶变换之后的频率域。其次，这里不能被那个采样速率迷惑，假设采样速率T等于100，那么r应该是小于等于0.0314才能对原信号进行重构，而频率的倒数刚好和事件成正比，也正好印证了我们的常识。看下面的图，其中X（jw）已经转换到频率域，它的频率范围为[-w_M，w_M]。假定信号为周期函数，则整个信号的频率域图形为第三行的图。

假设采样频率过慢，也就是w_s小于2w_M。则得到的周期函数仅仅只是整个信号频率域的一部分，所以就不能恢复出来。因此采样频率为最高频率的两倍就是这个临界阈值。

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