不定积分

考研数学复习笔记，用来复习知识点用，如有不足还请指出，Thanks♪(･ω･)ﾉ

文章目录

不定积分
- 1 原函数/不定积分概念和性质
- 2 原函数存在定理
- 3 不定积分的基本公式
- 4 不定积分的基本计算
- - 4.1 三角代换型
  - 4.2 分部积分法
  - 4.3 有理函数积分
  - - 4.3.1 部分分式法
    - 4.3.2 加项减项拆(凑微分降幂)
  - 4.4 三角有理式积分(R(sinx,cosx)型)
  - - 4.4.1 万能代换
    - 4.4.2 三角变形/分部/换元/凑微分
  - 4.5 简单无理函数积分
  - 4.6 不定积分技巧
  - - 4.6.1 表格法
    - 4.6.2 行列式法
    - 4.6.3 待定系数法
    - 4.6.4 辅助角公式
    - 4.6.5 和差化积/积化和差
    - 4.6.6 “1”的代换

1 原函数/不定积分概念和性质

2 原函数存在定理

弄懂：1. 连续能推出存在原函数，但存在原函数不能推出连续。

第一类间断点、第二类间断点与原函数是否存在的关系。

例题：

通过连续性的定义来做

因为存在第一类间断点，所以无原函数

体现了为什么不连续也能有原函数

3 不定积分的基本公式

必须滚瓜烂熟(甚至倒背如流 U·ェ·U)

参考文章链接：http://t.csdn.cn/76fsC

4 不定积分的基本计算

不定积分的计算是一个难点，在开始计算之前，需要熟记于心的知识点：

不定积分的基本公式
基本初等函数的导数公式
二倍角公式
( a ± b ) 3 (a \pm b)^3 (a±b)3 展开公式
各类三角函数以及之间的转化(如 t a n 2 x + 1 = s e c 2 x , c o t x = 1 t a n x tan^2x+1=sec^2x, cotx=\frac{1}{tanx} tan2x+1=sec2x,cotx=tanx1 等)
辅助角公式
一些技巧(表格法、待定系数法等)
和差化积、积化和差公式

接下来大致介绍一下常考题型。

4.1 三角代换型

4.2 分部积分法

4.3 有理函数积分

4.3.1 部分分式法

主要是弄清部分分式法分母的分解原则

4.3.2 加项减项拆(凑微分降幂)

最为常考的题型，需重点训练！！！

4.4 三角有理式积分(R(sinx,cosx)型)

4.4.1 万能代换

4.4.2 三角变形/分部/换元/凑微分

常用的方法，需重点训练！！！

三角变形的灵活运用，上下同乘cos然后凑dsin

4.5 简单无理函数积分

通常情况下，直接将根号部分代换掉即可：

当然有时候也有不用代换的情况。

注！这里有个必记结论： ∫ 1 x = 2 x + C = 2 ∫ d x \int \frac{1}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C=2\int d\sqrt{x} ∫x 1=2x +C=2∫dx

4.6 不定积分技巧

4.6.1 表格法

其中有一项通过连续求导后值可变为0，即可使用表格法。

4.6.2 行列式法

形如一次的三角函数乘上一个对数。

计算方法：
1 a 2 + b 2 ∣ ( e x ) ′ ( s i n x ) ′ e x s i n x ∣ (1) \frac{1}{a^2+b^2}\begin{vmatrix} (e^x)'& (sinx)'\\ e^x& sinx \end{vmatrix} \tag{1} a2+b21 (ex)′ex(sinx)′sinx (1)
原题可以看成是 ∫ e a x s i n b x d x \int e^{ax} sinbx dx ∫eaxsinbxdx 形式。

答案为： 1 1 + 1 [ ( e x ) ′ ⋅ s i n x − ( s i n x ) ′ ⋅ e x ] + C \frac{1}{1+1}[(e^x)'·sinx-(sinx)'·e^x]+C 1+11[(ex)′⋅sinx−(sinx)′⋅ex]+C

注意，e必须写在第一个；三角函数部分不能高于1次

4.6.3 待定系数法

具体是分母不变，将分子转化成A·(分母)+B·(分母)'即可，解出A、B，代入
A x + B l n ∣ 分母 ∣ + C Ax+Bln|分母|+C Ax+Bln∣分母∣+C
带入后即为最后答案。

注：详情参考《三大计算》视频课或参考答案P117

4.6.4 辅助角公式

4.6.5 和差化积/积化和差

积化和差

4.6.6 “1”的代换

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