离散事件动态系统作业 #Petri网 #可达图 #赋时Petri

本文章由作者独立创作，为研究生某课程作业，仅供参考

首先吐槽一点：CSDN无法使用svg矢量图（人家写markdown都支持）

1. 图的类型

1.1 有向图是一个二元组

G = ( V , E ) { V : 结点或定点的集合 E : 有向弧或者有向边的集合 G=(V,E)\\ \begin{cases} \ V:结点或定点的集合\\ \ E:有向弧或者有向边的集合\\ \end{cases} G=(V,E){ V:结点或定点的集合 E:有向弧或者有向边的集合

E = { ( V 2 , V 1 ) , ( V 2 , V 3 ) , ( V 4 , V 1 ) , ( V 4 , V 3 ) } E=\{\:(V2,V1),(V2,V3),(V4,V1),(V4,V3)\:\} E={(V2,V1),(V2,V3),(V4,V1),(V4,V3)}

1.2 二分图是一个三元组

G = ( V ˉ , V ^ , E ) V = V ˉ ∪ V ^ ∀ ( x , y ) ∈ E , ( x ∈ V ˉ ∩ y ∈ V ^ ) ∪ ( x ∈ V ^ ∩ y ∈ V ˉ ) G=(\bar{V},\hat{V},E)\\ V=\bar{V}\cup\hat{V}\\ \forall\:(x,y)\in E,\:(x\in\bar{V}\ \cap\ y\in\hat{V})\,\cup\,(x\in\hat{V}\ \cap\ y\in\bar{V})\\ G=(Vˉ,V^,E)V=Vˉ∪V^∀(x,y)∈E,(x∈Vˉ ∩ y∈V^)∪(x∈V^ ∩ y∈Vˉ)

1.3 加权图是一个三元组

G = ( V , E , W ) W : E → R \begin{aligned} &G=(V,E,W)\\ &W:\ E\rightarrow R \end{aligned} G=(V,E,W)W: E→R

2. Petri网

P e t r i Petri Petri网是德国当代数学家 C . A . P e t r i C.A.Petri C.A.Petri 定义的一种通用的数学模型，用以描述存在于条件与事件间的关系。这一工作进行于1960~1962年间。此后各国学者，例如美国 M I T MIT MIT（麻省理工学院）及欧洲的众多大学，对网作了大量的研究。1980年以来，“ P e t r i Petri Petri网理论及应用欧洲研讨会”每年召开一次年会，交流新的研究成果。法国的科研人员为此做出了贡献。早在1972~1973年，已利用 P e t r i Petri Petri网模型来描述逻辑控制器，它对 G r a f c e t Grafcet Grafcet的建立产生了影响。

P e t r i Petri Petri网的模型是丰富的，既有严格的数学表达式，又有形象生动的图形化结构，能够描述离散事件动态系统中的顺序、选择、互斥、并发等事件关系，能对具有并行（ p a r a l l e l i s m parallelism parallelism）、并发（ c o n c u r r e n c y concurrency concurrency）、同步（ s y n c h r o n i z a t i o n synchronization synchronization）、资源分享（ r e s o u r c e s h a r i n g resource sharing resourcesharing）等特性建立模型并使之形象化。 P e t r i Petri Petri网在离散事件动态系统的建模、分析、仿真、形式化验证、故障诊断和调度控制等方面都有广泛的应用。

2.1 Petri网的表示

P e t r i Petri Petri网是一个四元组，有向二分加权图
N = ( P , T , F , W ) { P : 库所集合，圆圈 T : 变迁集合，矩形 ( 方框 ) F : 有向弧集合 W : F → Z ( 权值 ) N=(P,T,F,W)\\ \begin{cases} \ P:库所集合，圆圈\\ \ T:变迁集合，矩形(方框)\\ \ F:有向弧集合\\ \ W:F\rightarrow Z(权值)\\ \end{cases} N=(P,T,F,W)⎩ ⎨ ⎧ P:库所集合，圆圈 T:变迁集合，矩形(方框) F:有向弧集合 W:F→Z(权值)
另外，

C − = P × T C^-=P \times T C−=P×T表示 ∣ P ∣ × ∣ T ∣ |P|\times |T| ∣P∣×∣T∣维的前置关联矩阵；

C + = T × P C^+=T \times P C+=T×P表示 ∣ T ∣ × ∣ P ∣ |T|\times |P| ∣T∣×∣P∣维的后置关联矩阵；

m 0 = [ 0 , 1 , . . . ] m_0=[0,1,...] m0=[0,1,...]表示初始标识的集合，每个库所中的标识皆称作 t o k e n token token， t o k e n token token用圆点表示，该集合中 t o k e n token token的总数量为非负整数；

C C C表示关联矩阵，其是由前后置关联矩阵计算得到的， C = C − − C + C=C^--C^+ C=C−−C+

2.2 使能变迁

如果一个变迁的每个输入库所的 t o k e n token token数不小于该库所到它弧上的权值，那么变迁是使能的。

即
m ≥ C − ( : , t ) m\geq C^- (:\;,t) m≥C−(:,t)

2.3 氢氧生水Petri网实例

下面以一个氢氧生水的例子来简单描述 P e t r i Petri Petri网

前置关联矩阵 C − C^- C−，表示每个变迁 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2)输入的变化， C − = [ 2 0 1 0 0 2 ] C^-=\left[ \begin{matrix} \:2&0\\\:1&0\\\:0&2\end{matrix}\:\right] C−= 210002

后置关联矩阵 C + C^+ C+，表示每个变迁 ( t 1 , t 2 ) (t_1,t_2) (t1,t2)输出的变化， C + = [ 0 2 0 1 2 0 ] C^+=\left[ \begin{matrix} \:0&2\\\:0&1\\\:2&0\end{matrix}\:\right] C+= 002210

关联矩阵 C = C + − C − = [ − 2 2 − 1 1 2 − 2 ] C = C^+-C^- =\left[ \begin{matrix} \:-2&2\\\:-1&1\\\:2&-2\end{matrix}\:\right] C=C+−C−= −2−1221−2

m 0 m_0 m0为初始状态，即初始每个库所中的 t o k r n tokrn tokrn数， m 0 = [ 3 1 2 ] m_0=\left[ \begin{matrix} \:3\\\:1\\\:2\end{matrix}\:\right] m0= 312

Petri网的激发有如下基本规则：

r u l e 1 rule1 rule1：只有使能的变迁才可以激发；

r u l e 2 rule2 rule2：变迁的激发耗时为0；

r u l e 3 rule3 rule3：如果一个变迁激发，会从它的每个输入库所取走弧上权值个 t o k e n token token，并给它的输出库所放入弧上权值个 t o k e n token token；
m k + 1 = m k + C ( : , t ) = m k + C ⋅ e → k + 1 m_{k+1} = m_k + C(:\;,t) = m_k + C \cdot \overrightarrow{e}_{k+1} mk+1=mk+C(:,t)=mk+C⋅e k+1
在氢氧生水的例子中，激发第一次变迁，可以得到
m 1 = m 0 + C ⋅ e → 1 = [ 3 1 2 ] + [ − 2 2 − 1 1 2 − 2 ] ⋅ [ 1 0 ] = [ 3 1 2 ] + [ − 2 − 1 2 ] = [ 1 0 4 ] \begin{aligned} m_1 &= m_0 + C \cdot \overrightarrow{e}_1 \\ &=\left[ \begin{matrix} \:3\\\:1\\\:2\end{matrix}\:\right] + \left[ \begin{matrix} \:-2&2\\\:-1&1\\\:2&-2\end{matrix}\:\right] \cdot \left[ \begin{matrix} \:1\\\:0\end{matrix}\:\right]\\ &=\left[ \begin{matrix} \:3\\\:1\\\:2\end{matrix}\:\right] + \left[ \begin{matrix} \:-2\\\:-1\\\:2\end{matrix}\:\right] = \left[ \begin{matrix} \:1\\\:0\\\:4\end{matrix}\:\right]\\ \end{aligned} m1=m0+C⋅e 1= 312 + −2−1221−2 ⋅[10]= 312 + −2−12 = 104

2.4 典型的Petri网实例

2.4.1 典型Petri网结构图

2.4.2 典型Petri网matlab代码实现

%% petri_fun.m
function m=petri_fun(k)m0 = [3;1;2;1;2;2;1];m = m0;if k>0C_minus = [2 0 0 0 0 0 0 0 0 0;1 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 2 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 1 0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 2 0 1 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 2 0 1 0;0 0 0 0 0 0 0 1 0 1];C_plus =  [0 0 1 0 0 0 0 0 1 0;0 0 0 1 0 0 0 0 0 1;2 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0 1 0 0 0;0 1 0 0 0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 2 0 0 0 0];C = C_plus - C_minus;E = eye(10);for i=1:ke = E(:,i);if all(m0 + C_minus*e >=0)m = m0 + C*e;m0 = m;elsefprintf("当前变迁无法激活，m = \n");endendelseif k==0fprintf("初始状态 m0 = \n");elsefprintf("未发生变迁，m = \n");end
end%% run.m
display(petri_fun(0));
for i=1:10fprintf("第%d次变迁，状态 m%d = \n",i,i);disp(petri_fun(i));
end

2.4.3 执行结果

3. Petri网可达图

3.1 Petri网可达图算法

输入：后置关联矩阵 C + C^+ C+，前置关联矩阵 C − C^- C−，初始标识 m 0 m_0 m0

输出：可达图 G r = ( V , E , W ) G_r = (V,E,W) Gr=(V,E,W)，加权有向图

算法步骤：

s t e p 1 step1 step1：设 V n e w V_{new} Vnew表示新结点的集合；

s t e p 2 step2 step2：画出可达图的根结点，并将其标为 m 0 m_0 m0，即 V = V ∪ { m 0 } V=V\cup\{m_0\} V=V∪{m0}；

s t e p 3 step3 step3：将 m 0 m_0 m0标为新结点，即 V n e w = { m 0 } V_{new}=\{m_0\} Vnew={m0}；

s t e p 4 step4 step4： i f if if 已经没有待扩展的新结点 ( V n e w = ∅ ) (V_{new}=\emptyset) (Vnew=∅)，则输出可达图 G G G，并退出算法；

e l s e else else，从 V n e w V_{new} Vnew中任意选择一个新结点 m m m，并将 m m m从 V n e w V_{new} Vnew中删除；

s t e p 5 step5 step5：令 T e = { ∀ t ∈ T ∣ m ≥ C − ( : , t ) } T_e=\{\ \forall t \in T \ |m\geq C^-(:,t)\ \} Te={ ∀t∈T ∣m≥C−(:,t) } ；

s t e p 6 step6 step6：从 T e T_e Te中任意选择一个变迁 t t t，并将其从 T e T_e Te中删除；

s t e p 7 step7 step7： m ′ = m + C + ( : , t ) − C − ( : , t ) m^{'} = m + C^+(:,t) - C^-(:,t) m′=m+C+(:,t)−C−(:,t) ；

s t e p 8 step8 step8： i f if if m ′ m^{'} m′还没出现过 ( m ′ ∉ V ) (m^{'}\notin V) (m′∈/V)，则 V = V ∪ { m ′ } V=V\cup \{m^{'}\} V=V∪{m′}， E = E ∪ { ( m , m ′ ) } E=E\cup \{(m,m^{'})\} E=E∪{(m,m′)}， W { ( m , m ′ ) } = t W\{(m,m^{'})\}=t W{(m,m′)}=t，并将 m ′ m^{'} m′放入 V n e w V_{new} Vnew中；

e l s e else else， E = E ∪ { ( m , m ′ ) } E=E\cup \{(m,m^{'})\} E=E∪{(m,m′)}， W { ( m , m ′ ) } = t W\{(m,m^{'})\}=t W{(m,m′)}=t；

s t e p 9 step9 step9： i f if if T e = ∅ T_e = \emptyset Te=∅，返回 s t e p 4 step4 step4；

e l s e else else T e ≠ ∅ T_e \neq \emptyset Te=∅，返回 s t e p 6 step6 step6。

3.2 可达图matlab代码实现

注：以下两个文本文档为前置后置关联矩阵，自己创一个.txt即可
C_minus.txt
2 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 1 0
0 2 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 2 0 1 0 0 1 0
0 2 0 0 0 0 2 1 0 1

C_plus.txt
0 0 1 0 0 0 2 0 1 0
2 0 0 0 2 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 2 1 0 2 0 1 0
0 0 0 1 0 2 0 0 0 1

%% step1~3: Initial
clear all;
clc;
C_minus = readmatrix("C_minus.txt");
C_plus =  readmatrix("C_plus.txt");
C = C_plus - C_minus
m0 = [4;2;3;1;3];
V = {};
V = [V,m0];
E = {};
W = {};
V_new = {m0};
Te = {};
symbol = 0;
origin = {};
destination = {};
weight = {};%% main circulate
while trueif symbol==0% step4: Exit or select random node[exit,m,V_new] = select_node(V_new,V,E,W,origin,destination,weight); if exit==1break;endTe = crate_Te(Te,m,C_minus);    % step5: Create Teif isempty(Te)else[t,Te]=select_t(Te);        % step6: Select random t from Techild=transition(C,m,t);    % step7: Transitionmask=judge(child,V);        % Judge whether 'child' has ever apperaed% step8: Add to Collection[V,E,W,V_new,origin,destination,weight]=collection(C,m,child,mask, ...t,V,E,W,V_new,origin,destination,weight); symbol = 0;endelse[t,Te]=select_t(Te);            % step6: Select random t from Techild=transition(C,m,t);        % step7: Transitionmask=judge(child,V);            % Judge whether 'child' has ever apperaed% step8: Add to Collection[V,E,W,V_new,origin,destination,weight]=collection(C,m,child,mask, ...t,V,E,W,V_new,origin,destination,weight); end% step9: Return and execute the next circulateif isempty(Te)symbol = 0;elsesymbol = 1;end
end%% step4: Exit or select random node
function [exit,m,V_new]=select_node(V_new,V,E,W,origin,destination,weight)if isempty(V_new)V = cell2mat(V);writematrix(V,'V.txt');fprintf('V=\n');disp(V);fprintf('E=\n');disp(E);W = cell2mat(W);writematrix(W,'W.txt');fprintf('W=\n');disp(W);m = [];exit = 1;G = digraph(origin,destination);figure(1)plot(G,"EdgeLabel",weight,"LineWidth",1.5,"MarkerSize",6, ..."ArrowSize",9,"NodeColor",'red','EdgeFontSize',9, ...'NodeFontSize',10)figure(2)plot(G,"EdgeLabel",weight,"LineWidth",1.5,"MarkerSize",6, ..."ArrowSize",9,"NodeColor",'red','EdgeFontSize',9, ...'NodeFontSize',10,'Layout','force3')elseindex = randi([1,length(V_new)]);m = V_new(index);V_new(index) =[];           % delete m from V_newexit = 0;end
end
%% step5: Create Te
function Te=crate_Te(Te,m,C_minus)sign = 0;I = eye(10);m = cell2mat(m);while truesign=sign+1;if sign>10 || length(find( m-C_minus(:,sign) <0))~=0break;elsetemp = {I(:,sign)};Te = [Te,temp];endend
end
%% step6: Select random t from Te
function [t,Te]=select_t(Te)if isempty(Te)returnelsesign = randi(length(Te));t = Te(sign);Te(sign) =[];               % delete t from Teend
end
%% step7: Transition
function child=transition(C,m,t)t = cell2mat(t);m = cell2mat(m);child = m + C*t;
end
%% Judge whether 'child' has ever apperaed
function mask=judge(child,V)child_cell = {child};mask = 0;for i=1:length(V)if ~isequal(child_cell,V(1,i))elsemask = i;               % appera,recordbreak;endend
end
%% step8: Add to Collection
function [V,E,W,V_new,origin,destination,weight]=collection(C,m,child,mask, ...t,V,E,W,V_new,origin,destination,weight)m = cell2mat(m);t = cell2mat(t);temp = sprintf('m%d',length(V));origin = [origin,temp];if mask==0arc = [m,child];V = [V,child];temp = sprintf('m%d',length(V));destination = [destination,temp];E = [E,arc];W = [W,C*t];temp = sprintf('t%d',length(W));weight = [weight,temp];V_new = [V_new,child];elsechild = V(1,mask);child = cell2mat(child);arc = [m,child];temp = sprintf('m%d',mask);destination = [destination,temp];E = [E,arc];W = [W,C*t];temp = sprintf('t%d',length(W));weight = [weight,temp];end
end

3.3 Petri网可达图执行结果

输出可达图如下所示：

输出三维力导向图如下：

窗口输出V, E, W 如下所示：

4. 赋时Petri网

4.1 赋时Petri网模型

所谓赋时Petri网就是在普通Petri网的基础上加入了时间因素，需要引入 d k , x k , λ k d_k,x_k,\lambda_k dk,xk,λk 这几个时间变量
{ G = ( N , d , m 0 ) X k = m k , v k , g k \begin{cases} \:G=(N,d,m_0)\\ \:X_k=m_k,v_k,g_k\\ \end{cases} {G=(N,d,m0)Xk=mk,vk,gk

其中，
{ N 是一个 P t r i 网结构 d 是时延 m 0 是初始标识 m k 是经过 k 次变迁激发到达的标识 v k 是 t o k e n 在库所中已经等待的时间 g k 是 P e t r i 网到达 x k 时已经等待的时间 \begin{cases} \:N是一个Ptri网结构\\\:d是时延\\\:m_0是初始标识\\\:m_k是经过k次变迁激发到达的标识\\\:v_k是token在库所中已经等待的时间\\\:g_k是Petri网到达x_k时已经等待的时间\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧N是一个Ptri网结构d是时延m0是初始标识mk是经过k次变迁激发到达的标识vk是token在库所中已经等待的时间gk是Petri网到达xk时已经等待的时间
激发条件：
{ m k − C − ( : , e k ) > 0 v k ( p ) ≥ d ( p ) \begin{cases} \:m_k-C^-(:,e_k)>0\\ \:v_k(p)\geq d(p)\\ \end{cases} {mk−C−(:,ek)>0vk(p)≥d(p)
定义：

λ k \lambda_k λk表示第 k k k次和第 k + 1 k+1 k+1次变迁之间的时间间隔

定理：

对于 G = ( N , d , m 0 ) G=(N,d,m_0) G=(N,d,m0)，对处于第 k k k个激发时刻的状态 X k X_k Xk， λ k + 1 \lambda_{k+1} λk+1表示第 k + 1 k+1 k+1个变迁还需等待的时间，那么：
{ m k ≥ C − ( : , e k + 1 ) λ = m a x ( d ( p ) − v k ( p ) ) m k + 1 = m k + C ( : , e k + 1 ) v k + 1 = v k − d i a g ( v k ) ⋅ C − ( : , e k + 1 ) + λ k + 1 ⋅ ( m k + 1 − C + ( : , e k + 1 ) ) g k + 1 = g k + λ k + 1 \begin{cases} \ m_k\geq C^-(:,e_{k+1})\\ \ \lambda = max(\ d(p)-v_k(p)\ )\\ \ m_{k+1} = m_k+C(:,e_{k+1})\\ \ v_{k+1} = v_k - diag(v_k)\cdot C^-(:,e_{k+1}) + \lambda_{k+1}\cdot (m_{k+1} - C^+(:,e_{k+1}))\\ \ g_{k+1} = g_k + \lambda_{k+1}\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ mk≥C−(:,ek+1) λ=max( d(p)−vk(p) ) mk+1=mk+C(:,ek+1) vk+1=vk−diag(vk)⋅C−(:,ek+1)+λk+1⋅(mk+1−C+(:,ek+1)) gk+1=gk+λk+1

4.2 赋时Petri网可达图算法

输入： C − , C , d , m 0 , m g C^-,\ C,\ d,\ m_0,\ m_g C−, C, d, m0, mg

**输出：**赋时 P e t r i Petri Petri网可达图

步骤如下：

（1）初始化 X 0 = ( m 0 , v 0 , g 0 ) X_0=(m_0,v_0,g_0) X0=(m0,v0,g0)，其中 m 0 m_0 m0作为初始标识， v 0 = 0 v_0=0 v0=0， λ 0 = 0 \lambda_0=0 λ0=0， g 0 = 0 g_0=0 g0=0；

（2）将初始状态 X 0 = ( m 0 , v 0 , g 0 ) X_0=(m_0,v_0,g_0) X0=(m0,v0,g0)作为可达树的根结点，并标记为 n e w new new；

（3）如果 m 0 = m g m_0=m_g m0=mg，将 X 0 X_0 X0标记为 g a o l gaol gaol，算法退出，否则继续执行下一步；

（4）从可达树中任意选择一个 n e w new new结点，表示为 X k = ( m k , v k , g k ) X_k=(m_k,v_k,g_k) Xk=(mk,vk,gk)，并将该结点标记为 o l d old old

（5）计算 X k X_k Xk状态下使能的变迁集合 E k = { t ∈ T ∣ m k ≥ C − ( : , t ) } E_k=\{t\in T \ |\ m_k \geq C^-(:,t) \} Ek={t∈T ∣ mk≥C−(:,t)}；

（6） f o r a l l e k ∈ E k , d o for\ \ all\ \ e_k\in E_k\ ,\ \ do for all ek∈Ek , do

（7）激发 e k e_k ek，产生新状态 X k + 1 X_{k+1} Xk+1，根据公式分别计算 λ k + 1 , m k + 1 , v k + 1 和 g k + 1 \lambda_{k+1},\ m_{k+1},\ v_{k+1}和g_{k+1} λk+1, mk+1, vk+1和gk+1；

（8）如果 X k + 1 X_{k+1} Xk+1是新状态，在可达树中添加一个表示 X k + 1 X_{k+1} Xk+1的结点；

（9）画一条从 X k X_k Xk指向 X k + 1 X_{k+1} Xk+1的弧，弧上标记激发变迁 e k e_k ek；

（10）如果 m k + 1 = m g m_{k+1}=m_g mk+1=mg，将 X k + 1 X_{k+1} Xk+1对应的结点记为 g o a l goal goal，否则记为 n e w new new；

（11） e n d end end

（12）如果可达树中存在 n e w new new结点，那么返回第4步。

4.3 赋时Petri网实例

4.3.1 设计赋时Petri网结构

改进了课堂上的赋时 P e t r i Petri Petri网例子，如下图所示

为使 P 2 P2 P2不会一直积累， c o n s t r a i n t constraint constraint:
P 2 ≤ 1 P_2\leq1 P2≤1
i n t r o d u c e C , s o h a v e introduce\ C ,\ so\ have introduce C, so have
P 2 + C = 1 w h i c h 0 ∗ P 0 + 0 ∗ P 1 + 1 ∗ P 2 + 0 ∗ P 3 + 0 ∗ P 4 + 0 ∗ P 5 + 0 ∗ P 6 + C = b w = [ 0 0 1 0 0 0 0 ] ( w 是 P 0 ∼ P 6 的系数 ) w ˉ = w ∗ C = [ 0 0 1 0 0 0 0 ] ∗ [ − 1 1 0 − 1 1 0 − 1 0 1 0 0 0 1 − 1 0 1 − 1 0 0 1 0 ] = [ − 1 0 1 ] m 0 ( c ) = b − w ∗ m 0 = 1 − [ 0 0 1 0 0 0 0 ] ∗ [ 0 0 0 1 1 1 0 ] = 1 − 0 = 1 P_2 + C =1\\ which\quad 0*P_0+0*P_1+1*P_2+0*P_3+0*P_4+0*P_5+0*P_6+C\ =\ b \\ w = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]\quad(\ w\ 是P_0\sim P_6的系数)\\ \bar{w} = w*C = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]*\left[ \begin{matrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \\ m_0(c) = b - w*m_0 = 1 - \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]*\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right] =1-0=1\\ P2+C=1which0∗P0+0∗P1+1∗P2+0∗P3+0∗P4+0∗P5+0∗P6+C = bw=[0010000]( w 是P0∼P6的系数)wˉ=w∗C=[0010000]∗ −1−1−101101100−1−110010000 =[−101]m0(c)=b−w∗m0=1−[0010000]∗ 0001110 =1−0=1

因此， C C C的库所初始值为1，在变迁中， C C C从 T 0 T_0 T0获得1个 t o k e n token token，从 T 1 T_1 T1获得0个 t o k e n token token，并给 T 2 T_2 T2赋予1个 t o k e n token token

4.3.2 赋时Petri网可达树matlab代码实现

注：以下两个文本文档为前置后置关联矩阵，自己创一个.txt即可
C_minus.txt
1 0 0
1 0 0
1 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 0
0 0 0
0 0 1

C_plus.txt
0 1 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
1 0 0
1 0 0
0 1 0
1 0 0

%% Time_given_Petri.m
clear;clc;
C_minus = readmatrix("C_minus.txt");
C_plus =  readmatrix("C_plus.txt");
C = C_plus - C_minus;
d = [10 8 0 12 10 8 0 0]';
mg = [1 1 0 1 0 0 6 1]';
%% Step1~2: Initial
X0 = state_X;
Ek = {};
V = [X0];
V_new = [X0];
origin = {};
destination = {};
weight = {};
%% Step3: Judge whether X0 is goal
if isequal(X0.m,mg)X0.goal = true;             % mark X0 as goal, algorithm exitorigin = [origin,'X0 is goal'];destination = [destination,'X0 is goal'];
elsewhile ~isempty(V_new)%% Step4: Random select a node from V_new as Xkindex = randi([1,length(V_new)]);Xk = V_new(index);V_new(index) = [];      % delete Xk from V_new% V = [V,Xk];           % set Xk -> oldfor j = 1:length(V)if isequal(V(j).m,Xk.m)    % if Xk_plus has ever appearfather_index = j; break;endend%% Step5: Calculate Transfer_Collection[Xk,Ek] = Transfer_Collection(Xk,C_minus);%% Step6for i = 1:length(Ek)%% Step7: Calculate lamda, m, v, g of Xk_plusek = Ek(i);Xk_plus = state_X;Xk_plus.m = Xk.m + C(:,ek);Xk_plus.lamda = max(d(C_minus(:,ek)~=0)-Xk.v(C_minus(:,ek)~=0));Xk_plus.v = Xk.v-diag(Xk.v)*C_minus(:,ek)+Xk_plus.lamda*(Xk_plus.m-C_plus(:,ek));Xk_plus.g = Xk.g + Xk_plus.lamda;%% Step8: append Xk_plussign = 1;                   % default Xk_plus is newfor j = 1:length(V)if isequal(V(j).m,Xk_plus.m) % if Xk_plus has ever appearsign = 0; break;endendif sign==1                  % if Xk_plus is new, append to V%% Step9: Digraphtemp = sprintf('X%d',father_index-1);origin = [origin,temp];V = [V,Xk_plus];temp = sprintf('X%d',length(V)-1);destination = [destination,temp];temp = sprintf('t%d',ek-1);weight = [weight,temp];end%% Step10: If Vk_plus.m==mg, mark -> goal, else -> newif isequal(Xk_plus.m,mg)Xk_plus.goal = true;temp = sprintf('X%d is goal',length(V)-1);destination(end) = {temp};break;elseV_new = [V_new,Xk_plus];endendend
end
G = digraph(origin,destination);
figure(1)
plot(G,"EdgeLabel",weight,"LineWidth",1.6,"MarkerSize",6,"ArrowSize", ...11,"NodeColor",'red','EdgeFontSize',9,'NodeFontSize',10, ...'ArrowPosition',0.9,'EdgeLabelColor','blue');
figure(2)
plot(G,"EdgeLabel",weight,"LineWidth",1.6,"MarkerSize",6,"ArrowSize", ...11,"NodeColor",'red','EdgeFontSize',9,'NodeFontSize',10, ...'Layout','force3','ArrowPosition',0.9,'EdgeLabelColor','blue');%% state_X.m
classdef state_Xpropertiesm = [0 0 0 1 1 1 0 1]';         % initial m0, v0, g, lamdav = [0 0 0 0 0 0 0 0]';g = 0;lamda = 0;goal = false;endmethodsfunction [object,Ek] = Transfer_Collection(object,C_minus)Ek = [];for t=1:length(C_minus(1,:))if all(object.m>=C_minus(:,t))Ek = [Ek,t];endendendend
end

4.3.3 赋时Petri网可达树执行结果

notes：由于程序中设定随机选择 V n e w V_{new} Vnew中的结点扩展，因此程序每次运行的结果不一定相同。

输出可达树如下所示：

输出三维力导向图如下：

5. 有色Petri网

5.1 颜色集

C = { g , w , b , . . . } C=\{g,w,b,...\} C={g,w,b,...}

t o k e n token token上的颜色集： C t o k e n ⟹ C t k n C_{token} \Longrightarrow C_{tkn} Ctoken⟹Ctkn

变迁上的颜色集： C t r a n s i t i o n ⟹ C t r s C_{transition} \Longrightarrow C_{trs} Ctransition⟹Ctrs

C ^ t k n \hat C_{tkn} C^tkn：由 C t k n C_{tkn} Ctkn中元素组成的多重集的集合；

m : P → C ^ t k n m:P\rightarrow\ \hat C_{tkn} m:P→ C^tkn

5.2 有色Petri网（普通Petri网的折叠）

有色Petri网就是在Petri网的基础上引入颜色的概念，对同类的个体赋予相同的颜色，不同类的个体以不同的颜色加以区分。另外token也增加了颜色，可以描述对象的属性信息，在弧上和变迁上存在着条件表达式和函数，说明弧的权值和颜色属性以及变迁触发的约束条件。

有色Petri网用七元组来表示，即$CPN={{P,T,E,C_{tkn},C_{trs},m_0,W_{arc}} } $

（1） P P P : 库所的有限集合, P = { p 1 , p 2 , . . . , p m } P={\{p_1,p_2,...,p_m}\} P={p1,p2,...,pm};

（2） T T T : 变迁的有限集合, T = { t 1 , t 2 , . . . , t n } T={\{t_1,t_2,...,t_n}\} T={t1,t2,...,tn};

（3） W a r c W_{arc} Warc : 弧的有限集合，满足$P\cap T=P\cap W_{arc}=T\cap W_{arc}=\varnothing $;

（4） C t k n C_{tkn} Ctkn : 每个库所对应的颜色集合

（5） C t r s C_{trs} Ctrs : 每个变迁对应的颜色集合

（6） m 0 m_0 m0 : P → C ^ t k n P\rightarrow \widehat C_{tkn} P→C tkn (由 C t k n C_{tkn} Ctkn 中的每个元素组成的多重集合)

5.3 激发规则与更新规则

∀ C ∈ C t r s , t ∈ T \forall C \in C_{trs} , t \in T ∀C∈Ctrs,t∈T ， m k ≥ C c − ( : , t ) m_k\geq C_c^-(:,t) mk≥Cc−(:,t) ，则该颜色对应的变迁可激发

m k + 1 = m k + C c ( : , t ) m_{k+1}=m_k+C_c (:,t) mk+1=mk+Cc(:,t)

5.4 可覆盖树算法

输入：前置关联矩阵C − ^- −，后置关联矩阵C + ^+ +，初始标识 m 0 m_0 m0

（1）绘制根结点记为 m 0 m_0 m0，并将之标记为新结点 n e w new new；

（2）判断可覆盖树中是否含有 n e w new new结点：如果没有，将可覆盖树输出，判断终止，算法结束；反之，执行3；

（3）在 n e w new new结点中任意选择一个 m m m;

（4） f o r a l l t ∈ T for \ all\ \ t\in T for all t∈T

（5） i f if if $ \ m\geq$ C − ( : , t ) C^-(:,t) C−(:,t), t h e n then then

（6）进行m的更新 m k + 1 = m k + C ( : , t ) = m k + C ⋅ e → m_{k+1}=m_k+C(:,t)=m_k+C\cdot \overrightarrow{e} mk+1=mk+C(:,t)=mk+C⋅e

（7）如果树中存在一个标识 m ‘ m^` m‘

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 16: m^`\geq m^{``} \̲a̲n̲d̲(\ \exists \ p\…

（8） ∀ p ∈ P , m ‘ ( p ) > m ‘ ‘ ( p ) , m ‘ ( p ) = ω \forall p\in P,m^`(p)>m^{``}(p),m^`(p)=\omega ∀p∈P,m‘(p)>m‘‘(p),m‘(p)=ω

（9）遍历树，判断 m ‘ m^` m‘是否为旧结点，标记为 o l d old old，反之，标记为新结点 n e w new new

（10） e n d i f endif endif

（11） e n d f o r endfor endfor

（12）返回第2步

致歉

由于课业繁多，且离散系统优化调度不是本人研究方向，因此止步于皮毛，仅供参考。

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