一、Ackermann函数

Ack(m,n)={n+1m=0Ack(m−1,1)m>0,n=0Ack(m−1,Ack(m,n−1))m>0,n>0Ack(m,n)= \begin{cases} n+1& m=0\\ Ack(m-1,1)& m>0,n=0\\ Ack(m-1,Ack(m,n-1))& m>0,n>0 \end{cases}Ack(m,n)=⎩⎪⎨⎪⎧n+1Ack(m−1,1)Ack(m−1,Ack(m,n−1))m=0m>0,n=0m>0,n>0
Ackermannn函数输出值增长速度非常快，仅是对于(4,3)的输出已大得不能准确计算。

Ack(0,n)=n+1Ack(1,n)=n+2Ack(2,n)=2n+3Ack(3,n)=2n+3−3Ack(4,n)=222⋅⋅⋅2−3（n+3个2）Ack(0,n)=n+1\\ Ack(1,n)=n+2\\ Ack(2,n)=2n+3\\ Ack(3,n)=2^{n+3}-3\\ Ack(4,n)=2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}}-3（n+3个2）Ack(0,n)=n+1Ack(1,n)=n+2Ack(2,n)=2n+3Ack(3,n)=2n+3−3Ack(4,n)=222⋅⋅⋅2−3（n+3个2）

二、C++实现

1. 递归实现

按照表达式直接写，非常简单。

int Ack(int m, int n) {if(m == 0) return n + 1;if(n == 0) return Ack(m - 1, 1);return Ack(m - 1, Ack(m, n - 1));
}

2. 栈模拟递归

观察表达式，显然只有m=0m=0m=0的情况才能直接求得具体值，因此递归的出口一定m=0m=0m=0。

先将问题具体化，例如求Ack(2,1)Ack(2,1)Ack(2,1)的值，手动演算一下，每一次取栈顶的时候都同时出栈，栈的变化如图：

先分析不那么特殊的两种情况：
①n=0n=0n=0，如蓝框过程。
则(m−1,1)(m-1,1)(m−1,1)入栈。

②m>0,n>0m>0,n>0m>0,n>0，如红框过程。
由于nnn的值也需要通过AckAckAck函数求出，先标记为−1-1−1，即待求值，将(m−1,−1)(m-1,-1)(m−1,−1)入栈；
然后将求nnn的值的AckAckAck函数入栈，即(m,n−1)(m,n-1)(m,n−1)入栈。

然后考虑m=0m=0m=0的情况：
如绿框过程。由于m=0m=0m=0时，函数求得了具体值，先更新返回值ret为n + 1。
通过栈是否为空判断是中间过程还是递归出口，栈空则说明达到了递归出口。
①中间过程，即前面一个绿框过程。
返回值为之前讨论的“用-1标记的待求的n”，因此更新栈顶的n。
②递归出口，即后面的绿框过程。栈空，说明没有待更新、待求值的了，该返回值即最终结果。

#include <stack>int Ack_non_recursion(int m, int n) {struct Ack {    // Ackermann结构体int m_, n_;Ack(int m, int n) : m_(m), n_(n) {} // 构造函数} Node(m, n);stack<Ack> s;   // STL栈s.push(Node);   // 初始值入栈int ret = -1;   // Ackermann函数的返回值while(!s.empty()) {Node = s.top(); // 取栈顶的值s.pop();        // 并且出栈if(Node.m_ == 0) {  // 第一种情况，m 等于 0ret = Node.n_ + 1;  // 返回值为 n + 1if(s.empty())   // 如果栈空了，说明不需要继续向上返回，已经得到了最终结果break;      // 跳出循环Node = s.top(); // 否则，更新栈顶结点（第三种情况中 用 -1 标记的待计算的 n 的值）s.pop();        // 先出栈Node.n_ = ret;  // n 修改为返回值s.push(Node);   // 再重新入栈}else if(Node.n_ == 0) { // 第二种情况，n 等于 0s.push(Ack(Node.m_ - 1, 1));    // Ack(m - 1, 1) 入栈}else {  // 第三种情况，m, n 都大于 0s.push(Ack(Node.m_ - 1, -1));   // 用 -1 标记 n ，表示还没有计算出值，Ack(m - 1, -1) 入栈s.push(Ack(Node.m_, Node.n_ - 1));  // 要计算 n 的值，Ack(m, n - 1) 入栈}}return ret;
}

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Ackermann函数（阿克曼函数）的递归、非递归（手动栈模拟）

目录

一、Ackermann函数

二、C++实现

1. 递归实现

2. 栈模拟递归

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