第03讲 MATLAB-simulink的数值运算

1.5 MATLAB的数值运算;1.5.1 矩阵运算;1. 矩阵的实现; 矩阵可以用以下几种方式进行赋值： 直接列出元素的形式； 通过语句和函数产生； 建立在文件中； 从外部的数据文件中装入。; 对于比较小的简单矩阵可以使用直接排列的形式输入，把矩阵的元素直接排列到方括号中，每行内的元素间用空格或逗号分开，行与行的内容用分号隔开。例如，矩阵

在MATLAB下的输入方式为 >>A=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]或 >>A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];简单矩阵的输入;利用语句或函数产生矩阵;利用语句或函数产生矩阵;利用语句或函数产生矩阵;利用语句或函数产生矩阵;(2) 矩阵的元素;矩阵的元素;矩阵的元素;矩阵的元素;矩阵的元素;(3) 特殊矩阵的实现;特殊矩阵的实现;2. 矩阵的基本运算;(1) 矩阵的转置;矩阵的转置;(2) 矩阵的加和减;(3) 矩阵的乘法;(4) 矩阵的除法;(5) 矩阵的乘方;(6) 矩阵的翻转;(7) 矩阵的超越函数;3. 矩阵的特殊运算 ;(2) 矩阵的迹

假设一个方阵为 A＝{aij}, i,j=1,2,…,n;则矩阵A的迹定义为

即矩阵的迹为该矩阵对角线上各个元素之和。由代数理论可知矩阵的迹和该矩阵的特征值之和是相同的。 在MATLAB中提供了求取矩阵迹的函数trace( )，其调用方法为 trace(A);(3) 矩阵的秩 对于n×m维的矩阵A，若矩阵所有的列向量中共有 rc个线性无关，则称矩阵的列秩为rc，如果rc=m， 则称A为列满秩矩阵；相应地，若矩阵A的行向量中有rr个是线性无关的，则称矩阵A的行秩为rr, 如果rr＝n，则称A为行满秩矩阵。 MATLAB提供了一个内部函数rank( )来用数值方法求取一个已知矩阵的秩，其调用格式为 k=rank(A);(4) 矩阵的三角分解 矩阵的三角分解又称为LU分解，它的目的是将一个矩阵A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，亦即可以写成A＝LU。 在MATLAB下也给出了矩阵的LU分解函数lu( )，该函数的调用格式为 [L,U]=lu(A);(5) 矩阵的特征值与特征向量[V，D]=eig(A)其中：A为要处理的矩阵，D为一个对角矩阵，其对角线上的元素为矩阵A的特征值，而每个特征值对应的V矩阵的列为该特征值的特征向量。该矩阵是一个满秩矩阵，它满足AV＝VD，且每个特征向量各元素的平方和均为1。如果调用该函数时只返回一个变量D，则D为A的特征值。;(6) 矩阵的特征多项式、特征方程和特征根 MATLAB提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly( )，其调用格式为P=poly(A)其中：A为给定的矩阵，返回值P为一个行向量，其各个分量为矩阵A的降幂排列的特征多项式系数。即 P=[ a0 a1 … an]; MATLAB语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。 f(x)=a0xn+a1xn-1+…… +an-1x+an 可用行向量 p=[a0 a1 …… an-1 an]表示。poly (A)—1、产生A矩阵特征多项式系数向量； 2、求根向量A对应的多项式。

特征多项式一定是n+1维的 特征多项式第一个元素一定是1;例:a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];p=poly(a)p = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的MATLAB描述方法，我们可用函数文件，显示数学多项式的形式：p1=poly2sym(p) p1 =x^3-6*x^2-72*x-27; MATLAB中根据矩阵特征多项式求特征根的函数为roots( )，其调用格式为V=roots(P)其中：P为特征多项式的系数向量，而V为特征多项式的解，即原始矩阵的特征根。;例：>>a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];p=poly(a)p = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00>>r=roots(p)r = 12.1229 -5.7345 -0.3884显然， r是矩阵a的特征值;当然我们可用poly令