大物下第9章熟记内容

前言

最近都没有好好学习，赶紧记记笔记吧。

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大物文章汇总

教材: 物理学(第六版)下册
东南大学等七所工科院校编
马文蔚周雨青解希顺改编

第九章振动

简谐振动

角频率(圆频率) w
w2=kmw ^ 2 = \frac{k}{m} w2=mk

简谐振动方程
x=Acos(wt+ϕ)x = Acos(wt + \phi) x=Acos(wt+ϕ)
速度v
v=−wAsin(wt+ϕ)v = -w Asin(wt + \phi) v=−wAsin(wt+ϕ)
加速度
a=−w2Acos(wt+ϕ)a = -w^2Acos(wt + \phi) a=−w2Acos(wt+ϕ)

周期
T=2πmkT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} T=2πkm
频率
v=12πkmv = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} v=2π1mk

常数A, ϕ\phiϕ 的确定
A=x02+v02w2A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{w^2}} A=x02+w2v02
tanϕ=−v0wx0tan\phi = \frac{-v_0}{wx_0} tanϕ=wx0−v0

单摆

d2θdt2=−glθ\frac{d^2 θ}{dt^2} = -\frac{g}{l}θ dt2d2θ=−lgθ
角频率和周期分别为
w=glw = \sqrt{\frac{g}{l}} w=lg
T=2πlgT = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} T=2πgl

复摆

d2θdt2=−mglJθ\frac{d^2θ}{dt^2} = -\frac{mgl}{J} θ dt2d2θ=−Jmglθ
角频率和周期分别为
w=mglJw = \sqrt{\frac{mgl}{J}} w=Jmgl
T=2πJmglT = 2\pi \sqrt{\frac{J}{mgl}} T=2πmglJ

简谐振动的能量

Ek=12mv2=12mω2sin2(ωt+ϕ)E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} m\omega ^2sin^2(\omega t + \phi) Ek=21mv2=21mω2sin2(ωt+ϕ)

Ep=12kx2=12kA2cos2(ωt+ϕ)E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\phi) Ep=21kx2=21kA2cos2(ωt+ϕ)

E=12mw2A2=12kA2E = \frac{1}{2}mw^2A^2 = \frac{1}{2}kA^2 E=21mw2A2=21kA2

同方向同频率的简谐振动的合成

A=A12+A22+2A1A2cos(ϕ2−ϕ1)A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2cos(\phi_2 ~-~ \phi_1)} A=A12+A22+2A1A2cos(ϕ2 − ϕ1)
tanϕ=A1sinϕ1+A2sinϕ2A1cosϕ1+A2cosϕ2tan \phi = \frac{A_1sin\phi_1 + A_2sin\phi_2}{A_1cos\phi_1 + A_2cos\phi_2} tanϕ=A1cosϕ1+A2cosϕ2A1sinϕ1+A2sinϕ2

两个简协振动的频率μ1\mu1μ1, μ2\mu2μ2合成后，合振幅的变化的频率，即拍频为
μ=∣μ1−μ2∣\mu = |\mu1 - \mu2| μ=∣μ1−μ2∣
例题可见P74 (3) 求观察者听到的拍频。
我们再看下合振动方程,
x1=Acos2πμ1tx2=Acos2πμ2tx_1 = Acos~2\pi \mu_1t \\ x_2 = Acos~2\pi \mu_2t x1=Acos 2πμ1tx2=Acos 2πμ2t
合振动方程
x=x1+x2=(2Acos2πμ2−μ12t)cos2πμ2+μ12tx = x_1 + x_2 = (2Acos~2\pi \frac{\mu_2 - \mu_1}{2}t)~cos~2\pi \frac{\mu_2 + \mu_1}{2}t x=x1+x2=(2Acos 2π2μ2−μ1t) cos 2π2μ2+μ1t
注: 上式用到了和差化积公式
cosα+cosβ=2cosα+β2cosα−β2cos \alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha + \beta}{2}cos\frac{\alpha - \beta}{2} cosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−β

无阻尼电磁振荡的振荡方程

q=Q0cos(wt+ϕ)q = Q_0cos(wt + \phi) q=Q0cos(wt+ϕ)
i=−wQ0sin(ωt+ϕ)i = -wQ_0sin(\omega t + \phi) i=−wQ0sin(ωt+ϕ)

角频率
w=1LCw = \frac{1}{\sqrt{LC}} w=LC1
频率
μ=w2π=12πLC\mu = \frac{w}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} μ=2πw=2πLC1
T=2πLCT = 2\pi \sqrt{LC} T=2πLC

电容器中的电场能量
We=q22C=Q022Ccos2(ωt+ϕ)W_e = \frac{q^2}{2C} = \frac{Q_0^2}{2C}cos^2(\omega t + \phi) We=2Cq2=2CQ02cos2(ωt+ϕ)
线圈中的磁场能量
Wm=12Li2=12LI02sin2(ω+ϕ)=Q022Csin2(ωt+ϕ)W_m = \frac{1}{2}Li^2 = \frac{1}{2}LI_0^2sin^2(\omega + \phi) = \frac{Q_0^2}{2C}sin^2(\omega t + \phi) Wm=21Li2=21LI02sin2(ω+ϕ)=2CQ02sin2(ωt+ϕ)
因此LC振荡电路中的总能量
W总=We+Wm=12LI02=Q022CW_总 = W_e + W_m = \frac{1}{2}LI_0^2 = \frac{Q_0^2}{2C} W总=We+Wm=21LI02=2CQ02

注, 这里要稍微留意一下，电路的能量还能这么算：
WE=CU2W_E = CU^2 WE=CU2