digital_logic@一位全加器的真值表@画卡诺图@输出逻辑函数表达式
文章目录
- digital_logic@一位全加器的真值表@画卡诺图@输出逻辑函数表达式
- 真值表
- 卡诺图
- 用卡诺图表示逻辑函数的方法
- 最小项
- 全加器的逻辑表达式
- 直接观察法(与或式)快速绘制卡诺图
digital_logic@一位全加器的真值表@画卡诺图@输出逻辑函数表达式
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|---|---|
| 一位全加器符号 | 4位全加器符号 |
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一位全加器的组合逻辑电路图 |
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4位逐位进位全加器 |
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- 4位超前进位加法器
真值表
CICICI A B COCOCO F 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 其中
- CI:Carry-Input,表示低维向本为进位(做扩展之用,可以由多个一位全加器构成多位全加器)
- CO:Carry-Outpu,表示本位向高位(下一位)的进位,同样可以做扩展之用
输入位
- CI:低位向本位进位
- A:本位加数
- B:本位加数
输出位
- 全加器本位和:F=A⊕B⊕CIF=A\oplus{B}\oplus{CI}F=A⊕B⊕CI
- 向高位进位:CO=(A⊕B)⋅CI+ABCO=(A\oplus{B})\cdot CI+ABCO=(A⊕B)⋅CI+AB
卡诺图
用真值表可以描述一个逻辑函数。
- 但是，直接把真值表作为运算工具十分不方便。
如果将真值表变换成方格图的形式，按循环码的规则来排列变量的取值组合，所得的真值图称为卡诺图。
利用卡诺图，可以十分方便地对逻辑函数(变量个数不多的情况下)进行简化，通常称为图解法或卡诺图法。
将真值表变换成卡诺图，是将变量分成两组。
- 如果是3变量，则分成AB组，C一组
- 如果是4变量，则分成AB一组，CD一组。
- 每一组变量取值组合按循环码的规则排列。
- 所谓循环码，是相邻两组之间只有一个变量值不同的编码，
- 例如，2变量的4种取值组合按00-01-11-10排列。
- 这里的相邻，包含头、尾两组，即10与00间也是相邻的(同样要求只有一个变量值不同)
- 当变量增多时，每组变量可能含有3个或4个以上的变量。
如果是n个变量，则一共有2n2^n2n个取值组合。
- 其最低位变量取值按0110重复排列
- 次低1位按00111100重复排列：
- 再前1位按0000111111110000重复排列
- …(参与重复的循环节是对称的;循环节给出的是最长的情况,如果循环节长度达到2n2^n2n,则不重复)
- 依次类推，最高位变量的取值是2n−12^{n-1}2n−1个连0和2n−12^{n-1}2n−1个连1排列(不对称,不再重复)
- 这样可以得到2n2^n2n个取值组合的循环码排列。
下表给出了2~4个变量循环码的排列，从这个表可以看出循环码排列的规律。
212^121 202^020 222^222 212^121 202^020 232^323 222^222 212^121 202^020 A高位 B低位 A高位 B C低位 A高位 B C D低位 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0
用卡诺图表示逻辑函数的方法
由于任意一个n变量的逻辑函数都可以变换成最小项表达式。
而n变量的卡诺图包含了n个变量的所有最小项，所以n变量的卡诺图可以表示n变量的任意一个逻辑函数。
例如，表示一个3变量的逻辑变量F(A,B,C)=∑m(3,5,6,7)F(A,B,C)=\sum{m}(3,5,6,7)F(A,B,C)=∑m(3,5,6,7)，可以在3变量卡诺图的m3,m5,m6,m7m_3,m_5,m_6,m_7m3,m5,m6,m7，的小方格中加以标记
- 一般是在3变量卡诺图对应m3,m5,m6,m7m_3,m_5,m_6,m_7m3,m5,m6,m7的小方格中填1，其余各小方格填0(或者不填)。
- 填1的小方格称为1格，填0的小方格称为0格
- 1格的含义是，当函数的变量取值与该小方格代表的最小项相同时，函数值为1
对于一个非标准的逻辑函数表达式（即不是最小项表达式），通常是将逻辑函数变换成最小项表达式再填图。例如
- F=ABCˉ+AˉBD+AC=ABCˉDˉ+ABCˉD+AˉBCˉD+AˉBCD+ABˉCDˉ+ABˉCD+ABCDˉ+ABCD=∑m(12,13,5,7,10,11,14,15)\begin{aligned} F= & A B \bar{C}+\bar{A} B D+A C\\ =&A B \bar{C} \bar{D}+A B \bar{C} D+\bar{A} B \bar{C} D+\bar{A} B C D+ \\ & A \bar{B} C \bar{D}+A \bar{B} C D+A B C \bar{D}+A B C D \\ =& \sum m(12,13,5,7,10,11,14,15) \end{aligned} F===ABCˉ+AˉBD+ACABCˉDˉ+ABCˉD+AˉBCˉD+AˉBCD+ABˉCDˉ+ABˉCD+ABCDˉ+ABCD∑m(12,13,5,7,10,11,14,15)
最小项
- 最小项(minterm):一个与项(乘积项)，它包含了某逻辑函数的全部变量，且每个变量在该与项中只出现一次
- 最小项编号：使最小项等于1的一组变量取值组合(二进制)，所转换成对应的十进制数，用mim_imi表示
- 最小项表达式：全部由最小项相加而构成的与-或表达式，又叫标准与-或式、标准积之和式。
全加器的逻辑表达式
由全加器真值表画出各输出变量的卡诺图
S=AB‾C‾i+A‾BC‾i+A‾B‾Ci+ABCiCo=AB+ACi+BCi\begin{aligned} {S}&=A\overline{B}\ \overline{{C}}_i+\overline{{A}}B \overline{{C}}_{{i}} +\overline{{A}}\ \overline{{B}}C_{{i}}+{ABC}_{{i}}\\ {Co}&={AB}+{AC}_{{i}}+{BC}_{{i}} \end{aligned} SCo=AB Ci+ABCi+A BCi+ABCi=AB+ACi+BCi
不以最简为目的画如下图所示的卡诺圈,可以得到含异或的表达式.
直接观察法(与或式)快速绘制卡诺图
- 有些函数变换成最小项表达式时十分繁琐，可以采用直接观察法。
- 观察法的基本原理是，在逻辑函数与-或式中，乘积项中只要有一个变量因子的值为0,该乘积项则为0；
- 只有所有变量因子值全部为1，该乘积项才为1。
- 如果乘积项没有包含全部变量（非最小项），只要乘积项现有变量因子能满足使该乘积项为1的条件，该乘积项值即为1。
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