数字信号处理4：采样定理
文章目录
- 1. 卷积定理
- 2. 采样定理推导
- 3. 傅里叶变换的频域标度
采样定理又称奈奎斯特定理，它规定了连续信号抽样成为离散信号时的采样率与信号最大频率之间的关系，那就是：
对于连续信号x(t)x(t)x(t)进行抽样时，抽样信号的最小频率p(t)p(t)p(t)的频率要大于x(t)x(t)x(t)的最大频率的2倍，采样得出的信号x[n]x[n]x[n]才能还原出原始信号x(t)x(t)x(t)。
这一点其实容易想明白，比如下面三个信号：
如果在T的整数倍处对三个信号采样，你会发现采样出的信号是完全一致的，这就导致你无法还原原始信号。因此，我们要明确采样频率和原信号的中包含的最高频率分量的关系。
通常来说，我们对于一个连续信号采样时，是截取x(t)x(t)x(t)在某一时刻的值，因此不妨将整个采样过程看做x(t)x(t)x(t)与p(t)p(t)p(t)的乘积，其中p(t)p(t)p(t)是梳妆函数，它是一系列冲激信号的延时叠加：
p(t)=∑n=−∞+∞δ(t−nT)p(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} \delta(t-nT) p(t)=n=−∞∑+∞δ(t−nT)
它的时域图像如下：
对它做傅里叶变换得到频域图像如下：
对应的表达式为
P(jw)=∑k=−∞+∞δ(w−kws)P(jw) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(w - kw_s) P(jw)=k=−∞∑+∞δ(w−kws)
而对于x(t)x(t)x(t)，我们需要假设它是一个带限信号，意味着它在频率上是有界的（否则就会发生频谱混叠）。它的频域图像如下：
以上就是我们对输入信号x(t)x(t)x(t)和采样信号p(t)p(t)p(t)的直观认识，接下来推导采样定理。
1. 卷积定理
之前我们有说过，时域卷积等于频域相乘，频域相乘等于时域卷积。这个结论对于我们推导采样定理以及建立对傅里叶变换后的频域的认识非常重要。因此先推导这个结论。
假设有信号
y(t)=x(t)∗h(t)=∫−∞+∞x(τ)h(t−τ)dτy(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau y(t)=x(t)∗h(t)=∫−∞+∞x(τ)h(t−τ)dτ
直接对y(t)y(t)y(t)做傅里叶变换：
Y(jw)=∫−∞+∞[∫−∞+∞x(τ)h(t−τ)dτ]e−jwtdtY(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau]e^{-jwt}dt Y(jw)=∫−∞+∞[∫−∞+∞x(τ)h(t−τ)dτ]e−jwtdt
交换积分次序，且由于x(τ)x(\tau)x(τ)与ttt无关
=∫−∞+∞x(τ)[∫−∞+∞h(t−τ)e−jwtdt]dτ= \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)[\int_{-\infty}^{+\infty}h(t-\tau)e^{-jwt}dt]d\tau =∫−∞+∞x(τ)[∫−∞+∞h(t−τ)e−jwtdt]dτ
根据傅里叶变换的时移性质：
若x(t)x(t)x(t)的傅里叶变换为X(jw)X(jw)X(jw)，则x(t−τ)x(t-\tau)x(t−τ)的傅里叶变换为：
∫−∞+∞x(t−τ)e−jwtdt=∫−∞+∞x(t−τ)e−jw(t−τ)e−jwτdt=e−jwτX(jw)\int_{-\infty}^{+\infty}x(t-\tau)e^{-jwt}dt = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t-\tau)e^{-jw(t-\tau)}e^{-jw\tau}dt=e^{-jw\tau}X(jw) ∫−∞+∞x(t−τ)e−jwtdt=∫−∞+∞x(t−τ)e−jw(t−τ)e−jwτdt=e−jwτX(jw)
因此，上式中方括号内的部分就可以用时移定理处理。
=∫−∞+∞x(τ)[e−jwτH(jw)]dτ= \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)[e^{-jw\tau}H(jw)]d\tau =∫−∞+∞x(τ)[e−jwτH(jw)]dτ
且H(jw)H(jw)H(jw)与τ\tauτ无关，可移出积分外。
=H(jw)∫−∞+∞x(τ)e−jwτdτ=H(jw)X(jw)= H(jw)\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)e^{-jw\tau}d\tau = H(jw)X(jw) =H(jw)∫−∞+∞x(τ)e−jwτdτ=H(jw)X(jw)
故而
y(t)=x(t)∗h(t)y(t) = x(t) * h(t) y(t)=x(t)∗h(t)
的傅里叶变换为
Y(w)=X(jw)H(jw)Y(w) = X(jw)H(jw) Y(w)=X(jw)H(jw)
对于频域卷积的情况，由于情况是对称的，所以不再单独推导。
2. 采样定理推导
之前的结论是，对于采样过程，可以写成
xp(t)=x(t)p(t)x_p(t) = x(t)p(t) xp(t)=x(t)p(t)
那么，对于xp(t)x_p(t)xp(t)的傅里叶变换Xp(jw)X_p(jw)Xp(jw)，就是频域卷积X(jw)∗P(jw)X(jw)*P(jw)X(jw)∗P(jw)。
之前我们已经给出了P(jw)P(jw)P(jw)的图像。它在频域上也是冲激信号的延时叠加。
而对于一个信号，与冲激信号进行卷积，就相当于将该信号进行移位：
X(jw)∗δ(w−kws)=X(j(w−kws))X(jw)*\delta(w-kw_s) = X(j(w - kw_s)) X(jw)∗δ(w−kws)=X(j(w−kws))
故而，Xp(jw)X_p(jw)Xp(jw)的图像就是X(jw)X(jw)X(jw)的一系列位移叠加。
图中，wsw_sws是采样信号p(t)p(t)p(t)的频率，ws=2π/Tw_s = 2\pi/Tws=2π/T。wMw_MwM为原始信号中包含的最大频率分量。显然，从图中可以看到，仅当ws>2wMw_s > 2w_Mws>2wM时，频谱才不会发生混叠，才能唯一还原成原信号x(t)x(t)x(t)。
3. 傅里叶变换的频域标度
通常在做傅里叶变换时，我们取N个点的时域信号，然后做DFT之后变成频域表示，同样有N个点。那么这N个点代表什么呢？
这里要回想一下之前的离散傅里叶变换
X[k]=∑n=<N>x[n]e−jk2πNnX[k] = \sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n} X[k]=n=<N>∑x[n]e−jkN2πn
显然kkk是以NNN为周期的。并且，∣X[−k]∣=∣X[−k]∣|X[-k]| = |X[-k]|∣X[−k]∣=∣X[−k]∣，这和上图中的c保持一致。
当k=Nk = Nk=N时，k2πN=2πk\frac{2\pi}{N} = 2\pikN2π=2π，从上面的图不难发现，这里的2π2\pi2π对应的就是采样率wsw_sws，如果换算成Hz为单位的频率，它其实就代表的是我们通常在音频文件中所说的采样率，比如44100Hz。而k=N/2k = N/2k=N/2时，就代表采样率的一半。而由于频域图像的对称性，所以通常来说，真正表示频域信息的区域仅在[0,π][0, \pi][0,π]内，这也是为什么通常我们从matlab中看到的频率分析定义域都是[0,π][0, \pi][0,π]。
以通常的音频文件采样率举例，最常见的采样率就是44.1kHz，那么这个采样率能表示的信号的最高频率就是22.05kHz。而人耳能感受到的声音频率范围是20Hz~20kHz，因此，这个采样率可以说是专为人耳特定的。而由于现在存储媒介容量大幅增长，网络速度也越来越快，更高的采样率如48kHz、96kHz也逐渐开始流行。
数字信号处理4：采样定理相关推荐
- 数字信号处理基础----采样定理
1. 采样的过程 对一个信号进行采样,就是用一系列等间隔的的脉冲信号作用在被采样信号上.由前面的知识,冲击信号与另一个信号相乘,会在冲击的位置得到一个幅度为被采样信号的一个冲击,由此得到了一些列时 ...
- 语音信号处理：采样定理【只要采样频率大于或等于有效信号最高频率的两倍，采样值就可以包含原始信号的所有信息，被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号】
一.采样定理概述 采样定理,又称香农采样定理,奈奎斯特采样定理,只要采样频率大于或等于有效信号最高频率的两倍,采样值就可以包含原始信号的所有信息,被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号. 采样定理解 ...
- 【数字信号处理】带通采样定理及其MATLAB仿真
目录 一.带通采样定理 1.1 内容 1.2 公式推导 二.MATLAB信号仿真 2.1 信号仿真实验 2.2 MATLAB代码 三.总结 参考 一.带通采样定理 按照奈奎斯特采样定理(低通采样),采 ...
- 数字信号处理篇（一） 采样定理
1.奈奎斯特采样 如果信号的最高频率是 ,为了使抽样所得的离散值不丢失原信号的信息,那么至少以 的速率进行抽样.即当采样率 ,得到的离散信号 就可以完全恢复原模拟信号 . 2.带通采样 对于某些 ...
- 数字信号处理——采样定理
采样频率:单位时间(一般一秒)内的采样点数 带宽:指的是信号的主体占据的频率范围 频率分辨率:分辨两个不同频率信号的最小间隔f_{0} =\frac{1}{T} ,所以信号越长,分辨率越好,T就是采样 ...
- 数字信号处理（8）- 频域采样定理
1 为什么要研究频域采样定理 由z变换和DFT的关系可知,DFT实现了对频域的采样,便于计算机的计算. 那么能否用频域采样恢复原来的信号(或者频率函数),其限制条件是什么,内插公式又是什么? 采样后所 ...
- 【数字信号处理】带通采样定理原理及其MATLAB仿真说明
引言 平常我们所讲的采样定理(奈奎斯特采样定理)一般要求满足: f s ≥ 2 f H f_s≥2f_H fs
- 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 线性卷积起点定理 | 左边序列概念 | 推理 )
文章目录 一.线性卷积起点定理 二.左边序列 三.线性卷积起点定理推理 一.线性卷积起点定理 x(n)x(n)x(n) 和 y(n)y(n)y(n) 分别是 起点为 N1N_1N1 和 N2N_2N ...
- c语言实现1024点fft程序,数字信号处理的步骤与注意事项,并编写1024个采样点的FFT C语言程序...
数字信号处理的步骤与注意事项,并编写1024个采样点的FFT C语言程序 1. 数字信号处理 1.1 数字信号处理概述 数字信号处理是研究如何用数字或符号序列来表示信号以及如何对这些序列进行处理的一门 ...
最新文章
- 转行学python后悔了-你是多少岁转行的？转行后你后悔了吗？
- android fragment contextmenu,在 fragment 中，无法为listView项创建 contextMenu_android_开发99编程知识库...
- poj3261（求至少出现k次的可重叠的子串的长度）
- wxWidgets：显示如何从 DLL 使用 wx 的示例
- Android开发之旅：HelloWorld项目的目录结构
- C/S构架和B/S架构的比较
- file watchers怎么默认打开_Python读写文件怎么和我之前学的不一样？
- Android RecyclerView封装下拉刷新与上拉加载更多
- 使用IntelliJ IDEA 构建Maven的web项目
- linux centos java 应用服务器配置
- 谢谢你，阅读了这篇文章
- like not like 优化
- android aso优化工具,如何使用ASO优化工具优化安卓应用商店
- 计算机英语四六级考试时间,2019年12月英语四六级考试时间
- java18天map和线程
- 蒋宇捷——程序员的进化 - 在拉勾1024程序员节上的演讲
- Ubuntu-的前世今生
- 阿里云服务器CentOS部署Minio服务实现远程访问
- 十、快速入门线性代数的向量和矩阵篇
- 计算机我的手机选项在哪里设置方法,手把手教你用手机轻松设置无线wifi路由器的方法...