【数字信号处理】带通采样定理及其MATLAB仿真

一、带通采样定理

按照奈奎斯特采样定理(低通采样)，采样频率 f s f_{s} fs 要大于等于信号中最高频率 f m a x f_{max} fmax 的2倍，才可以保证采样后的数字信号通过DAC转换后，可以无失真的恢复为原信号。然而，如果信号的频率分布在某一有限频带上，并且信号的最高频率 f m a x f_{max} fmax 远大于信号的带宽 B B B（带通信号），若此时仍依据低通采样定理进行处理，则需要特别高的采样率，一方面会导致后续信号处理的计算量极大，无法保证数字信号处理的实时性；另一方面，ADC器件的性能受限，无法实现对应的采样频率。因此，需要一种适用于带通信号的采样方式，以达到上述要求。

1.1 内容

带通采样定理：设一时间连续的模拟信号 x ( t ) x(t) x(t)，其频带限制在( f L f_{L} fL， f H f_{H} fH)内，如果信号的采样频率满足：
f s = 2 ( f L + f H ) 2 m − 1 = 4 f 0 2 m − 1 − − − − − − − − − ( 1 − 1 ) f_{s}=\frac{2(f_{L}+f_{H})}{2m-1}=\frac{4f_{0}}{2m-1} ---------(1-1) fs=2m−12(fL+fH)=2m−14f0−−−−−−−−−(1−1)
f s ≥ = 2 ( f H − f L ) = 2 B − − − − − − − − − − − ( 1 − 2 ) f_{s}≥=2(f_{H}-f_{L})=2B-----------(1-2) fs≥=2(fH−fL)=2B−−−−−−−−−−−(1−2)
式中， f 0 = ( f L + f H ) 2 f_{0}=\frac{(f_{L}+f_{H})}{2} f0=2(fL+fH) 为带通信号的中心频率， B = f H − f L B=f_{H}-f_{L} B=fH−fL为信号的带宽， m = 1 , 2 , . . . m=1,2,... m=1,2,...，取可以满足以上两式的正整数。
则此时用 f s f_{s} fs 进行等间隔采样所得到的信号采样值可以不失真的恢复为原始信号。

1.2 公式推导

二、MATLAB信号仿真

2.1 信号仿真实验

以64KHz的采样频率对3KHz和67KHz的信号进行采样，采样后信号的频率会怎么样呢？

可以发现，利用采样频率为64KHz对67KHz的信号进行采样，采样后的信号波形与3KHz的信号波形一致，说明采样后信号的频谱进行了搬移，即67-64=3。

2.2 MATLAB代码

clc;
clear;
close all;fs = 64000;     % 采样频率
f1 = 3000;
f2 = 67000;
N = 100;        % 数据长度
t = (0:N-1)/fs;x1 = sin(2*pi*f1*t);
x2 = sin(2*pi*f2*t);figure;
subplot(2,1,1);plot(t,x1);title('f1 = 3KHz');
subplot(2,1,2);plot(t,x2);title('f2 = 67KHz');

三、总结

（1）采样的本质是对信号的频谱进行搬移，最根本的要求就是采样后信号的频谱不混叠。
（2）低通采样定理要求采样频率 f s f_{s} fs 要大于等于信号中最高频率 f m a x f_{max} fmax 的2倍，而带通采样的采样频率与信号的最高频率没有关系，只与信号的带宽有关。
（3）带通采样定理中采样频率的取值是不连续的分段区间，而不同于低通采样信号的最小采样频率。
（4）带通采样的采样频率最小可等于信号带宽的2倍，实际工程应用中常取信号带宽的4倍或更高。

参考

[1] 王坡. PD雷达信号处理关键算法研究与实现[D].南京信息工程大学,2019.DOI:10.27248/d.cnki.gnjqc.2019.000075.
[2] 工程中的带通采样定理 [学以致用系列课程之数字信号处理]
[3] 陈伯孝, 等. 现代雷达系统分析与设计[M]. 西安：西安电子科技大学出版社, 2012.9.