一、树的概念

树是一种数据结构，树由结点及连接结点的边组成，每个树有且只有一个根结点，除了根结点以外，其它每个结点都与其有唯一的父结点相连，其中根结点到其它每个结点也有且只有一条路径。
1、二叉树
若树中每个节点最多有两个子结点，则称为二叉树，即每个结点的子结点不超过两个，由根结点分叉的两个结点中，左边称为左子树，右边称为右子树，如下图：

2、满二叉树
若一个深度为k的树，具有2^k-1个结点，则称该树为满二叉树，如下图该树的深度为k=3，其结点数为2^k-1=2³-1=7个：

而如下图这两个树都不是满二叉树：

3、完全二叉树
若一个深度为k的树，其结点为n个，对树中的结点按从上到下、从左到右的顺序进行编号，当每一个结点都与同样深度为k的满二叉树中的结点一一对应时，则称该树为完全二叉树。

完全二叉树中，从根节点至倒数第二层满足满二叉树，其最后一层的结点可以不完全填满，可以说若一棵二叉树是满二叉树时，则它一定是完全二叉树，如下图这两个树都是完全二叉树，但它们不是满二叉树：

4、完满二叉树
无子结点的结点称为叶子结点，若一个树的非叶子结点的结点数都为2，即都有两个子结点时，则称这个树为完满二叉树，如下图：

二、二叉树的实现

二叉树的python代码实现有两种方法，第一种称作“列表的列表”的形式，也就是列表的反复嵌套，第二种称作“结点与引用”，通过设置一个类。

（一）列表的列表

1、二叉树的结点实现和输出
在Python中，我们可以通过“列表的列表”这种方式来实现树的python代码，即列表的多层嵌套，例如下面这个树的实现python代码：

Tree = ["1", ["2", ["4", [], []], ["5", [], []]], ["3", [], []]]

我们可以通过列表的索引和切片来输出树中的结点，如下代码：

Tree = ["1", ["2", ["4", [], []], ["5", [], []]], ["3", [], []]]
print(Tree[0])  # 输出根结点
print(Tree[1])  # 输出该树的左子树
print(Tree[2])  # 输出该树的右子树
print(Tree[1][0])
print(Tree[1][1])
print(Tree[1][1][0])
print(Tree[1][2][0])
print(Tree[1][1][1])
print(Tree[2:])

运行结果如下：

2、二叉树的创建
二叉树的创建通过创建一个列表，由于二叉树由根结点和左子树和右子树组成，一开始将左右子树定义为空列表，即根结点为r，左右子树此时都为[]。
定义一个函数BinaryTree()用于创建一个二叉树，如下代码：

def BinaryTree(r):return [r, [], []]  # 返回二叉树

3、左右子树的结点添加
我们要向已经创建好的二叉树中添加左右子树（左右子树中的结点），所以要先获取当前的左或右子树对应的列表（可能为空），然后将新的左或右子树添加进去，从而实现在二叉树的任何位置实现结点添加。
定义两个函数insertLeft()与insertRight()分别用于左右子树的结点添加，如下代码：

def insertLeft(root, newBranch):  # 新建一个左子树，将其作为当前结点的左子结点t = root.pop(1)  # pop()函数用于删除列表中指定元素if len(t) > 1:root.insert(1, [newBranch, t, []])  # insert()函数用于将元素插入到列表的指定位置else:root.insert(1, [newBranch, [], []])return rootdef insertRight(root, newBranch):  # 新建一个右子树，将其作为当前结点的右子结点t = root.pop(2)  # pop()函数用于删除列表中指定元素if len(t) > 1:root.insert(2, [newBranch, [], t])  # insert()函数用于将元素插入到列表的指定位置else:root.insert(2, [newBranch, [], []])return root

4、另外定义几个函数用于返回二叉树以及结点存储的对象，getRootVal()函数给出参数root从而返回当前结点存储的对象；setRootVal()函数给出参数root和newVal在当前结点存储参数newVal的对象；getLeftChild()和getRightChild()函数给出参数root用于返回当前结点的左/右结点所对应的子二叉树，如下代码：

def getRootVal(root):  # 返回当前结点存储的对象return root[0]def setRootVal(root, newVal):  # 在当前结点中存储参数newVal的对象root[0] = newValdef getLeftChild(root):  # 返回当前结点的左子结点所对应的子二叉树return root[1]def getRightChild(root):  # 返回当前结点的右子结点所对应的子二叉树return root[2]

（二）结点与引用

另外一种对树的定义方法是通过定义一个类，类中含有根结点以及左右子树的属性，如下图：

1、BinaryTree类的创建
通过创建一个BinaryTree类作为树的初始化，其中包括根结点rootObj，以及空的左右子树，代码如下：

# 创建一个树BinaryTree类
class BinaryTree:# 定义一个构造方法用于创建新的结点，参数rootObj作为此时的根结点def __init__(self, rootObj):self.key = rootObj  # 根结点self.leftChild = None  # 此时左子树为空self.rightChild = None  # 此时右子树为空

2、左右子树的结点添加
左右子树的结点添加要考虑两种情况，一是向无子结点的结点下添加，二是向已有子结点的结点下添加，如下以左结点添加为例：

在类下定义两个方法，insertLeft()和insertRight()分别用于添加左/右结点，都含有一个参数newNode用于接收结点，其代码实现如下：

    # 插入左结点def insertLeft(self, newNode):if self.leftChild is None:  # 无左结点时self.leftChild = BinaryTree(newNode)else:t = BinaryTree(newNode)  # 实例化对象，创建新的结点t.left = self.leftChildself.leftChild = t# 插入右结点def insertRight(self, newNode):if self.rightChild is None:  # 无右结点时self.rightChild = BinaryTree(newNode)else:t = BinaryTree(newNode)  # 实例化对象，创建新的结点t.left = self.rightChildself.rightChild = t

3、另外定义几个函数用于返回二叉树以及结点存储的对象，getRootVal()函数返回当前结点存储的对象；setRootVal()函数给出参数obj用于在当前结点存储对象；getLeftChild()和getRightChild()函数给出参数用于返回当前结点的左/右结点所对应的子二叉树，如下代码：

    def getRightChild(self):return self.rightChilddef getLeftChild(self):return self.leftChilddef setRootVal(self, obj):self.key = objdef getRootVal(self):return self.key

程序的完整代码如下：

# 创建一个树BinaryTree类
class BinaryTree:# 定义一个构造方法用于创建新的结点，参数rootObj作为此时的根结点def __init__(self, rootObj):self.key = rootObj  # 根结点self.leftChild = None  # 此时左子树为空self.rightChild = None  # 此时右子树为空# 插入左结点def insertLeft(self, newNode):if self.leftChild is None:  # 无左结点时self.leftChild = BinaryTree(newNode)else:t = BinaryTree(newNode)  # 实例化对象，创建新的结点t.left = self.leftChildself.leftChild = t# 插入右结点def insertRight(self, newNode):if self.rightChild is None:  # 无右结点时self.rightChild = BinaryTree(newNode)else:t = BinaryTree(newNode)  # 实例化对象，创建新的结点t.left = self.rightChildself.rightChild = tdef getRightChild(self):return self.rightChilddef getLeftChild(self):return self.leftChilddef setRootVal(self, obj):self.key = objdef getRootVal(self):return self.key

如下是一个二叉树，通过程序实现：

代码如下：

tree = BinaryTree(1)
print(tree.getRootVal())
print(tree.getLeftChild())
tree.insertLeft(2)
tree.insertRight(3)
print(tree.getLeftChild().getRootVal())
print(tree.getRightChild().getRootVal())
tree.insertLeft(4)
tree.insertRight(5)
print(tree.getLeftChild().getRootVal())
print(tree.getRightChild().getRootVal())
tree.insertLeft(6)
print(tree.getLeftChild().getRootVal())

运行结果如下：

三、图的概念

图是一种数据结构，前面所讲的树其实就是一种特殊的图，图的两个顶点之间通过一条边来使其联系，这里的边可以是单向或双向，若一个图中所有的边都为单向，则称整个图为有向图，如下（其中边上的数字代表权重）：

1、图的定义和权重
图定义为G =(V，E)，其中V是一个顶点集合，E是一个边集合，每一条边都是一个二元组（v，w），且v，w∈V，可以向边的二元组中再添加一个元素，用于表示权重，即从图上一个顶点到另一个顶点所需的成本，若一个有向图带有权重，则称为带权有向图。
例如，上图的带权有向图可以通过两个集合来描述该图：

V = {a, b, c, d, e, f}
E = {(a, f, 1), (f, e, 2), (e, d, 2), (b, a, 1), (b, c, 3), (c, d, 5), (c, g, 4), (g, a, 2)}

2、路径
路径是由边连接的顶点组成的序列，不带权重的图的路径长度是路径上的边数，带权重的图的路径长度是路径上边的权重之和，例如上图中，从c到a的路径是顶点序列（c，g，a），其相对应的边是{(c, g, 4), (g, a, 2)}，如下：

3、环
环是有向图中的一条起点和终点为同一个顶点的路径，比如下图的路径（a，b，c，d，e，f，a）就是一个环。

若一个图没有环，则称为无环图，没有环的有向图称为有向无环图，也称为DAG，例如前面的这个图就是一个DAG：

四、图的实现

图的实现有两种常用的方法实现，分别是邻接矩阵和邻接表，邻接矩阵适合有很多边的图，而邻接表适合稀疏连接的图。

（一）邻接矩阵

通过邻接矩阵实现图，具体步骤是通过一个二维矩阵表示，其中的数字代表顶点到顶点的权重，如下：

（二）邻接表

具体代码如下：

class Vertex:def __init__(self, key):self.id = keyself.connectedTo = {}def addNeighbor(self, nbr, weight=0):self.connectedTo[nbr] = weightdef __str__(self):return str(self.id) + ' connectedTo: ' + str([x.id for x in self.connectedTo])def getConnections(self):return self.connectedTo.keys()def getId(self):return self.iddef getWeight(self, nbr):return self.connectedTo[nbr]class Graph:def __init__(self):self.vertList = {}self.numVertices = 0def addVertex(self, key):self.numVertices = self.numVertices + 1newVertex = Vertex(key)self.vertList[key] = newVertexreturn newVertexdef getVertex(self, n):if n in self.vertList:return self.vertList[n]else:return Nonedef __contains__(self, n):return n in self.vertListdef addEdge(self, f, t, cost=0):if f not in self.vertList:nv = self.addVertex(f)if t not in self.vertList:nv = self.addVertex(t)self.vertList[f].addNeighbor(self.vertList[t], cost)def getVertices(self):return self.vertList.keys()def __iter__(self):return iter(self.vertList.values())g = Graph()
for i in range(7):g.addVertex(i)
g.addEdge("a", "f", 1)
g.addEdge("f", "e", 2)
g.addEdge("e", "d", 2)
g.addEdge("b", "a", 1)
g.addEdge("b", "c", 3)
g.addEdge("c", "d", 5)
g.addEdge("c", "g", 4)
g.addEdge("g", "a", 2)
for v in g:for w in v.getConnections():print("( %s , %s )" % (v.getId(), w.getId()))