分析时间复杂度和空间复杂度(一级)

什么叫时间复杂度,并且告诉大家我们一般求时间最坏复杂度,下边我们该怎么求时间复杂度呢,没有必要去求他真实的计算次数,所以我们最后把这个问题简化了,怎么来简化?1. 找出算法中的基本语句,基本语句是哪个语句呢,一般来说是执行次数最多的那条语句,其他的都可以省略,找算法中的基本语句,算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句2. 然后我们只要计算基本语句的执行次数的级别就可以了3. 最后用大O来表示下边我们都举几个列子都挺简单的

时间复杂度举例(1)----------------------------------------------------一个简单语句的时间复杂度为O(1).int count = 1;他的时间复杂度是多少,我们不是应该这么求吗,T(n)=1,因为一条语句他的执行次数就是一次,这不叫时间复杂度,这叫时间频度,时间复杂度是怎么来的,T(n)=O(1),第一步找出基本语句,他的执行次数就一次,再用大欧来表示,他没有低次幂,只有常数项,这用1来表示就可以了(2)-----------------------------------------------------100个简单语句的事件复杂度也为O(1).int count = 0;
int count = 0;
int count = 0;
........
int count = 0;int不能重复的定义,一共一百条语句,请你告诉我,他的执行次数,他的时间复杂度是多少,找出基本语句,每个语句执行一次,那就是T(n)=1,T(n)=O(1),还是1,我不找基本语句,只是100条语句,他的执行次数是100,T(n)=100,不找基本语句,所有的语句执行次数是100,T(n)=100,但是时间复杂度来求的话100都要去掉,去掉之后就变成1了,T(n)=O(1),有人说这里是100条,但是这里不管是1万条还是10万条,这里最后还是1,因为10万条还是个有限的数,他也是个常数,这一点大家明确(3)----------------------------------------------------一个循环的时间复杂度为O(n)int n = 8,count = 0;for(int i=1;i<=n;i++){count++;
}一个循环的事件复杂度,n等于8,count等于0,for循环循环几次,count加加,注意啊,你不要看这个8,因为这次给个8,下次给的可能就不是8了,也可能是给个无穷大的数,他就是个变量,请问他的时间复杂度是多少,注意了,要找基本语句,基本语句是不是int n = 8,count = 0这条语句,基本语句执行次数最多的语句,最多的是count++,有些人会说最多的是i<=n,不计较这个,计较这个有意义吗,是没有意义,我们找循环体就可以了,那你想一下,count++这个他应该执行多少次,我们要写T(n),告诉我他执行多少次,那是不是和n有关,那就执行n次吧,T(n)=n,T(n)=n+1,和T(n)=n-1次这个没关系,我们就n次,这个n就可以了,不影响结果,然后怎么办,如果T(n)用时间复杂度来表示,写一个大欧还是n,T(n)=O(n),还是n就可以了,n相当于一个变量,我想问大家一下,如果我这里写的是10n+100,for(int i=1;i<=10n+100;i++),请告诉我,他的时间度是多少,那他的T(n)=10n+100,这个是时间频度,但是我们是看复杂度,看他规模就可以了,怎么看呢,常数项100去掉,10n的系数10也去了,是不是还是n,多做几个就明白了,是O(n)(4)------------------------------------------------------时间复杂度为O(log2 n)的循环语句int n = 5,count = 0;for(int i=1;i<=n;i*=2){count++;
}有人说这个语句和上面的语句一样啊,不一样,哪儿不一样?关键是这儿i*=2,这儿不一样,i乘等于2,这个时间度是多少,它执行多少次,你知道i*=2是什么含义吗,第一次它是1,然后他变成几了,它变成2,然后就变成4,然后变成8,然后16,然后32,有人说这个变化也不快,这还叫不快吗,好像大家都还听说过一个故事,什么故事啊,什么印度一个国王,向国际象棋发明者老智者要赏赐他了我赏赐你粮食吧,一个国际象棋的棋盘,一共64个格,第一个格放一个,第二个放2个,第三个放4个,第四个放8个,当时国王发现整个国家的粮食放进来也放不够,为什么啊,只有64个格,他就放不下了,别说64个格,想一下30个格就是多少,1是2的0次方,2是2的一次方,4是2的2次方,30个格那不就是2的30次方,2的30次方是多少啊,这对我们学计算机的来说应该很清楚啊,不就是2的10次方乘以2的10次方,再乘以2的10次方,那不就是1024*1024*1024,我们简单一下=1000*1000*1000,就是10的9次方,就是10亿,想说明一个什么意思,也就是说,对于我们上面这个来说,我们最后写的这个数,如果我们呢这个数是n,他等于10亿的话,这个i++,每次加的话,如果这个数是10亿的话,它这个循环得循环多少次,i++一直变到10亿,10亿次,但是如果用(int i=1;i<=n;i*=2)这种方式的话几次就可以了,如果这个n是10亿的话,30次左右就可以了,有没有想到我这个30次和10亿次的差别,还是很大的,这种算法告诉我,我知道10亿了,我知道这个n了,我怎么知道n的多少次方就等于n了,log2 n,一个叫做指数,一个叫做对数,反过来的,有的人说我有点糊涂了,我们在这里不做过多的纠结,在这种情况下,我们要掌握两点,第一点log2 n的话,他的效率是特别高,你就想这个30次跟10亿次的差别就可以了,想那个差别就可以了,如果你以后设计了一种算法,从O(n)到O(log2 n),那你太棒了,如果你再实现一种算法复杂度是O(1),那你就更厉害,这个大家明确了,这个log2 n就指数的反过来,2的30次方就是10亿,这里特别标记一下,好好的想一下这一块(5)--------------------------------------------------------------时间复杂度为O(n²)的二重循环.int n = 8,count=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){count++;}
}大家一定要记住,有人说这个有点难,难你不学肯定学不会,不可能眯一会睁开眼就回来,我们学就是学别人不会的,就学这些呗,学一些难的内容,别人学不会我们会的,第三点这个真的很难吗,我们今天就可以掌握就变成自己的了,这差距有时候就是这么来产生的,告诉我这个时间复杂度是多少,先找基本语句,基本语句是count++呗,这是基本语句,告诉我j<n是从1开始的,i小于n也是1开始的,我们不说别的,里循环,里循环小循环多少次,从1到n次,这个n次有几个n次,这外循环又是n次,那不就是n乘以n吗,所以他的复杂度是O(n²),如果我这里要是10n呢,for(int j=1;j<=10n;j++),我这里是100n呢,for(int i=1;i<=100n;i++),级别是不是还是n的平方时间复杂度吗,T(n)=100n*10n最后等于多少,最后等于1000n*10n,那我们要用时间复杂度来说,就等于T(n)=O(n*n),一步一步来,(6)--------------------------------------------------------------------时间复杂度为O(nlog2 n)的二重循环int n = 8,count = 0;for(int i=1;i<=n;i*=2){for(int j=1;j<=n;j++){count++;}
}总觉得很相似,j小于等于n,i小于等于n一样啊? i*=2这儿不一样,是不是这儿不一样,双重循环,这里多少,在这个里循环里面多少次,里循环里面n次,他有多少个n次,他有多少个小循环,log2 n呗, 所以他整个的时间复杂度就是n*log2 n,写他就可以,O(log2 n*n),这个大家明确了(7)-----------------------------------------------------------------------------时间复杂度为O(n²)的二重循环.int n =8,count = 0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){count++;}
}这个是多少,仔细来看,n等于8,这个不搭理他,我们要的是找循环体,i小于等于n,i加加,j加加,j小于等于i,这个好奇怪,他的级别会是多少,这个要稍微繁琐一下,你一定要想一下,这个for(int i=1;i<=n;i++)循环几次,是不是n次,那里面的这个循环for(int j=1;j<=i;j++)循环了几次,那是不确定的,因为i等于1就循环1次,i等于2,,从1到2,i等于3,从1到3,所以你可以这么算一下,怎么算啊,当i等于1的话,这条语句执行1次,因为你看,从1到1嘛,j小于等于i嘛,当i要是等于2的话,两次,i等于3的时候,3次,再加上4等于1+2+3+4,当i要是等于n的时候,j从1到n,是不是就是n次,告诉我1+2+3+4+....+n=?,这是不是就是他的完整的执行次数,稍微复杂一下,这不就是刚才效率最高的算法吗,1+2+3+...+n=(1+n)*n/2,这是多少啊,这是时间复杂度吗,这是时间频度,我们以更加简单的形式来写一下,0.5n²+0.5n,这是时间频度,T(n)=0.5n²+0.5n,我求的是T(n)=O(n²),最后就剩n的平方

我们现在通过这么几个例子,让大家对时间复杂度入门,第一个知道有哪些级别,第二个他大概是怎么来算的,还要明确这个概念,后面我们讲什么线性表啦,讲树啦,讲查询排序,往往都是去说他的时间复杂度,因为这是衡量他优劣的最直接的指标,你要明确常用的时间复杂度有多少? 我们列了一个表1. 常数阶 O(1)2. 对数阶 O(log2 n):你见到log2 n你就要想那个国际象棋,要米粒3. 线数阶 O(n): 这个就和上面一个差别就很大了4. 线性对数阶 O(n*log2 n)5. 平方阶 O(n²): n的平方就是n乘以n, n大于log2 n6. 立方阶 O(n³): 是不是复杂度效率更低........指数阶 :效率更低,2的n次方阶乘阶: n的阶乘 n!,谁能写出这样一个算法我佩服你,这个级别效率太低了,一般来说常用的复杂度,越往下时间复杂度越高,执行效率越低,我们以后编写程序,尽量控制一下规模,你如果要来个三重的循环,那估计就是这个立方阶 O(n³),我们这里又一个表当n等于8,等于10,等于1000的时候,什么意思,如果你的级别是O(n)的话,如果n等于1000,你就执行1000次,如果是O(log2 n),就是2的10次方,9次10次就可以了,9次和1000次的差别,如果O(1)一次就可以了,如果你的你别是O(n),执行此时是1亿次,但是如果是log2 n的话是8次就够了,8次和1亿次是什么差别讲到这里我们就把时间的复杂度给大家说完了再来看一下算法的空间复杂度,空间复杂度没有什么过多要说的吧,更多的是来计算时间复杂度,空间复杂度用S(n)来表示为什么要用S来表示,S是什么意思,是Space空间,n是问题的规模,S(n)=O(g(n)),O是最坏的情况,他也代表复杂度,这里面还有一个函数,我们一起分析一下int fun(int n){int i,j,k,s;s=0;for(int i=0;i<=n;i++){for(int j=0;j<=i;j++){for(int k=0;k<=j;j++){s++;}}}return s;
}告诉我这个空间复杂度是多少,n是多少,那不确定,n可能是个无穷大的数,他不确定,i,j,k,s,s等于0,开始循环了,就是这4个变量了,我们现在不是求时间复杂度,我们求的是空间复杂度,你觉得这段代码要执行,内存里面要占多少空间,第一个变量是i,第二个变量是j,第三个变量是k,第四个变量是s,i是0,j是0,k是0,s是0,i要变成1,j要变成1,2,没有分配额外的空间,这个i要变,k也要变,s也要变,只需要4个空间就够了,因为你变来变去,并没有分配额外的空间,我有4个空间就够了,并没有占别的空间,S(n)=4,4个空间就够了,我要空间复杂度呢,S(n)=O(1),空间复杂度是1,因为n是100万,他也是4个空间,什么情况下空间复杂度也会很高,n越大分的空间越多,比如说递归由于算法中临时变量的个数与问题规模n无关,所以空间复杂度为S(n)=O(1),空间复杂度分析2:void fun(int a[],int n,int k){// 数组a共有n个元素int i;if(k==n-1){for(int i=0;i<n;i++){// 执行n次printf("%d\n",a[i]);}}else{for(int i=k;i<n;i++){// 执行n-k次a[i] = a[i] + i*i;fun(a,n,k+1);}}}fun(a,n,k+1)这个叫什么啊,这个叫递归,自己调自己叫递归,这个算法大家已经学过了,他要分多少空间,如果我们只是调用函数一次,这个函数如果调一次,不递归的话,需要3个,一个n,一个k,一个i,再加一个数组a,数量是有限制的,级别还是1,如果还往下这么调呢,它会调多少次,会递归往下调多少级别,如果他是n个级别的话,如果递归n次的话就是1*n,每次调用这个函数,比如栈的空间特别少,但是调n次,哪怕他调用n/2次呢,那这个n也是无穷数,所以我们求这个级别的话怎么求,还是O(n)的,每调函数一次,花的空间很少,此属于递归算法,每次调用本身都需要分配空间,空间很少,但是你经不住他调的次数多,每递归一次都要分配一次空间,所以他的空间复杂度是O(n),那大家都记住一个结论,请问递归有什么缺点,效率低下,占用空间多,那我为什么还要用递归,代码简单,思路简单,特别的方便,航天飞机里面一般不用递归,为什么,实时系统里面不用递归,实时反应,占的空间多,效率还低,可能计算结果要花很多的时间,但是他代码简单,性能要求不是特别高的情况下,可以用递归来实现,在我们后面的数据结构里面,使用最多的一个内容就是递归,很多地方树的遍历,图的遍历,折半查找,还有很多的查询排序,都用到递归,下来对递归进行了大量的练习,因为递归是我们面试的时候用的比较多的内容,关于空间复杂度我们就简单的说到这里记住:1. 空间复杂度比时间复杂度分析要少2. 用递归算法,代码比较简单,算法本身占的空间少,但是运行的时候要分配比较多的空间,写的代码少,但是运行是需要多次调用,占很多的空间,如果采用非递归算法呢,代码可能会很长,代码会是很复杂的代码,代码多了,存代码就占的多了,运行的时候,就像我们刚刚画的图一样,运行的时候就占的比较少

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