一、混沌理论

混沌现象是介于确定和随机之间的一种不规则运动，是一种由确定的非线性动力学系统生成的复杂行为，广泛存在于自然系统和社会系统中。混沌是确定性系统中由于随机性行为而产生的一种外在的、复杂的、貌似无规则的运动。对于确定性的非线性系统出现的具有内在随机性的解，称为混沌解。

混沌系统分为两类：（1）保守系统中不可积系统的混沌，如庞加莱证明的太阳系稳定性问题；（2）耗散系统中的混沌，如Lorenz系统。对于物理系统，从能量观点可以分别保守系统和耗散系统。保守系统，可以分为可积的和不可积的系统，不可积的系统意味着混沌系统；耗散结构是由极限环描述的周期运动，两个或两个以上周期运动的耦合会产生混沌运动。

混沌时间序列预测的物理基础：（1）一方面，系统的蝴蝶效应，即某些复杂的非线性系统对复杂的初始条件具有很强的敏感性，即使系统初始条件细微差异，系统演化也可能导致显著差异，在实际中很难测量初始条件，因此对这类系统进行长期预测是不可能的；（2）另一方面，混沌是由确定系统的内在特性引起的，在表面的随机性中蕴藏着系统的内在秩序确定性，而非完全随机的，因此其短期预测具有可行性。

混沌现象所固有的确定性，表明许多随机现象实际上是可以预测的；

混沌现象所固有的对初值的敏感性，又意味着预测能力受到新的根本性限制。

因此，混沌现象是短期可以预测，而长期不能预测。

混沌时间序列预测，是一种新型的非线性系统预测理论，研究如何由时间序列通过相空间重构，从另一个维度和视角来辨识系统，挖掘系统中蕴藏的规律，并预测系统的未来走势，而忽略因变量背后众多影响因素和复杂的影响机理，省却了大量繁琐的工作，非常适合于那些总体呈现确定性，但又具有某种程度随机性的复杂系统。

混沌时间序列预测的基本思想：构造一个非线性映射来近似地还原原系统，这一非线性映射即为要建立的预测模型。

混沌时间序列预测的优点：（1）不必事先建立一个主观模型，再通过对这个模型的微调来拟合原系统，而是直接根据序列本身的客观规律进行预测，这样可以最大限度地避免人为主观性，提高预测的精度和可信度；（2）混沌方法有更广阔的适用范围，即系统适应性好，而不像传统预测方法仅仅适用于某一类具有特定特征的系统。

时间序列预测模型的建立主要基于两类思想：（1）一类思想基于多变量回归，即预测对象的未来行为取决于其他主导对象的当前或过去的行为，也就是说取决于另一个或多个时间序列。这些起主导作用的时间序列与被预测的时间序列存在共振或同步，同时也要满足领先于被预测的时间序列。（2）另一类思想基于单变量自回归，即预测对象的未来行为主要由其历史行为决定。

吸引子不变量：关联维、K熵、Lyapunov指数

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