常微分方程I ODE的例子1 弹簧的振动、RLC电路与单摆

例1 弹簧的振动
考虑一端固定的弹力系数为kkk的弹簧连接质量为mmm在水平方向的振动，假设阻力与速度成正比，比例系数为ccc，外力为f(t)f(t)f(t)，根据牛顿第二定律，
mx¨=−cx˙−kx+f(t)m\ddot{x}=-c\dot{x}-kx+f(t)mx¨=−cx˙−kx+f(t)

或者写为
mx¨+cx˙+kx=f(t)m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=f(t)mx¨+cx˙+kx=f(t)

假设初始位置为x(0)=x0x(0)=x_0x(0)=x0，初始速度为x˙(0)=v0\dot{x}(0)=v_0x˙(0)=v0，于是弹簧的振动就是一个初值问题。

下面讨论一些特殊情况：
i）简谐运动，c=0,f(t)=0c=0,f(t)=0c=0,f(t)=0，则
mx¨+kx=0m\ddot{x}+kx=0mx¨+kx=0

令w=k/mw=\sqrt{k/m}w=k/m，它表示振动的频率，则
x¨+w2x=0\ddot{x}+w^2x=0x¨+w2x=0

ii) 共振，c=0,f(t)=Fcos⁡wtc=0,f(t)=F\cos wtc=0,f(t)=Fcoswt，则
x¨+w02x=Fmcos⁡wt,w0=k/m\ddot{x}+w_0^2x=\frac{F}{m}\cos wt,w_0=\sqrt{k/m}x¨+w02x=mFcoswt,w0=k/m

称w0w_0w0为自然频率，当w=w0w=w_0w=w0时产生共振。

我们可以将弹簧振动的方程写成一阶ODE system的形式，定义
x1=x,x2=x˙x_1=x,x_2=\dot{x}x1=x,x2=x˙

则
{x˙1=x2x˙2=f−cmx2−kmx1\begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = f-\frac{c}{m}x_2-\frac{k}{m}x_1 \end{cases}{x˙1=x2x˙2=f−mcx2−mkx1

例2 RLC电路
把电源、电阻、电感、电容串联起来就是一个RLC电路，用I(t)I(t)I(t)表示电流，Q(t)Q(t)Q(t)表示charge density，则
I=Q˙I=\dot{Q}I=Q˙

用V(t)V(t)V(t)表示电源两端的电压，根据欧姆定律、法拉第定律、电容的定义
V=RI+LI˙+QCV=RI+L\dot{I}+\frac{Q}{C}V=RI+LI˙+CQ

所以
LQ¨+RQ˙+1CQ=VL\ddot{Q}+R\dot{Q}+\frac{1}{C}Q=VLQ¨+RQ˙+C1Q=V

这个方程与弹簧振动的方程几乎一致，它的应用是我们可以用电路实验代替力学实验。

例3 单摆的运动
考虑一个单摆，悬挂物体质量为mmm，摆长为lll，与竖直方向的夹角为θ\thetaθ。根据牛顿第二定律，F=maF=maF=ma，FFF与aaa均沿运动轨迹的切线方向，其中
a=lθ¨F=−mgsin⁡θa = l\ddot{\theta} \\ F = -mg\sin \thetaa=lθ¨F=−mgsinθ

于是
mlθ¨=−mgsin⁡θθ¨+glsin⁡θ=0ml\ddot{\theta} = -mg\sin \theta \\\ddot{\theta} +\frac{g}{l}\sin \theta = 0 mlθ¨=−mgsinθθ¨+lgsinθ=0

给定初值时，我们可以确定一种单摆的运动。

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