物理光学8 多波束干涉

多波束干涉(multi-beam interference)的原理可以用下图解释。假设一块折射率为n2n_2n2的材料放在折射率为n1n_1n1的介质中，用电场为E0E_0E0的光垂直入射，在界面处发生折射（或者说透过、也可以说渗透）和反射，反射光电场为rE0rE_0rE0，折射光电场为tE0tE_0tE0；假设折射光传播到材料另一边时相位增加了δ/2\delta/2δ/2，则
δ2=kd\frac{\delta}{2}=kd2δ=kd

其中kkk是入射光的波数，ddd是材料的厚度；此时在这个界面上也会发生反射和折射，反射光电场为r′tE0eiδ2r'tE_0e^{i\frac{\delta}{2}}r′tE0ei2δ，折射光电场为t′tE0eiδ2t'tE_0e^{i\frac{\delta}{2}}t′tE0ei2δ；这一束反射光回到第一个界面时又会发生折射和反射，也就是说会有一束光一直在材料中传播并在材料两端不停地反射和折射直到它的光强趋于0；

在材料的左边的表面，所有的反射光叠加在一起的结果是
Er=rE0+tt′r′E0eiδ[1+(r′)2eiδ+((r′)2eiδ)2+⋯]E_r=rE_0+tt'r'E_0e^{i\delta}[1+(r')^2e^{i\delta}+((r')^2e^{i\delta})^2+\cdots] Er=rE0+tt′r′E0eiδ[1+(r′)2eiδ+((r′)2eiδ)2+⋯]

根据Stokes parameter的关系：
r′=−rtt′=1−r2r'=-r \\ tt' = 1-r^2r′=−rtt′=1−r2

反射系数与透过系数的值用Fresnel方程计算；它们之间的关系用下图（从维基百科偷来的）说明，本质其实就是能量守恒。

代入到上式中，
Er=rE01−eiδ1−r2eiδE_r=rE_0 \frac{1-e^{i\delta}}{1-r^2e^{i\delta}}Er=rE01−r2eiδ1−eiδ

这就是多波束干涉的结果。据此可以计算光强：
Ir=ErEr∗=IinFsin⁡2(δ/2)1+Fsin⁡2(δ/2)I_r = E_rE_r^* = I_{in}\frac{F\sin^2(\delta/2)}{1+F\sin^2(\delta/2)}Ir=ErEr∗=Iin1+Fsin2(δ/2)Fsin2(δ/2)

其中IinI_{in}Iin是入射光的强度，Iin=E0E0∗I_{in}=E_0E_0^*Iin=E0E0∗，
F=4r2(1−r2)2F=\frac{4r^2}{(1-r^2)^2}F=(1−r2)24r2

由此可以计算总反射系数为
R=IrIin=Fsin⁡2(δ/2)1+Fsin⁡2(δ/2)R = \frac{I_r}{I_{in}}=\frac{F\sin^2(\delta/2)}{1+F\sin^2(\delta/2)}R=IinIr=1+Fsin2(δ/2)Fsin2(δ/2)

那么总透过系数就是
T=1−R=11+Fsin⁡2(δ/2)T = 1-R=\frac{1}{1+F\sin^2(\delta/2)}T=1−R=1+Fsin2(δ/2)1

有趣的现象
如果sin⁡2(δ/2)=0\sin^2(\delta/2)=0sin2(δ/2)=0，也就是
δ/2=kd=mπ,m∈N\delta/2=kd=m\pi,m \in \mathbb{N}δ/2=kd=mπ,m∈N

也就是只要材料厚度满足
d=mπkd=\frac{m\pi}{k}d=kmπ

也可以用波长替换波数
k=2πλ,d=m2λk = \frac{2\pi}{\lambda} , d = \frac{m}{2}\lambdak=λ2π,d=2mλ

那么T=1,R=0T=1,R=0T=1,R=0，即光垂直通过这块材料可以全部透射。乍一看这个结论好像也没什么，但以普遍理性而论，如果可以把材料厚度变成所有可见光波长的“公倍数”，那么这块材料对所有的可见光都是“透明的”，这就实现了在可见光下的“隐形”效果。

透射光的频谱

现在来分析透射光的频谱，也就是TTT关于δ\deltaδ的函数：
T=11+Fsin⁡2(δ/2)T =\frac{1}{1+F\sin^2(\delta/2)}T=1+Fsin2(δ/2)1

如果FFF非常小，那么TTT总是接近1的，也就是材料几乎总是可以全透射的；如果FFF比较大，那么当δ=2mπ\delta=2m\piδ=2mπ时，材料会全透射，这时的光谱叫transmission spectra，但在其他时候，材料的透射对角频率δ\deltaδ的变化非常敏感（在特定频率发生透射，其他频率几乎无透射），这时的光谱叫free spectra range （FSR）。通常认为T=1/2T=1/2T=1/2是作为透射与否的阈值，那么在FSR中，可以发生透射的频段为
T=12δ1/2=2arcsin⁡(1/F)≈2FT = \frac{1}{2} \\ \delta_{1/2}=2 \arcsin(1/\sqrt{F})\approx \frac{2}{\sqrt{F}}T=21δ1/2=2arcsin(1/F)≈F2

称2δ1/22\delta_{1/2}2δ1/2为full-width at half-maximum，记为
FWHM=2δ1/2=4FFWHM=2\delta_{1/2}=\frac{4}{\sqrt{F}}FWHM=2δ1/2=F4

多波束干涉的应用非常广泛，根据TTT与δ\deltaδ的关系，我们可以用多波束干涉的原理制作光谱仪；也可以用多波束干涉在LASER中筛选特定波长的电磁波。

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