十大排序已经告一段落，接下来小软将与同学们一起学习一种新的结构——二叉树

一、树

在谈二叉树前，小软先和同学们谈下树和图的概念

树：不包含回路的连通无向图(树是一种简单的非线性结构)

树有着不包含回路这个特点，所以树就被赋予了很多特性

1、一棵树中任意两个结点有且仅有唯一的一条路径连通

2、一棵树如果有n个结点，那它一定恰好有n-1条边

3、在一棵树中加一条边将会构成一个回路

4、树中有且仅有一个没有前驱的结点称为根结点

在对树进行讨论的时候将树中的每个点称为结点，

根结点：没有父结点的结点

叶结点：没有子结点的结点

内部结点：一个结点既不是根结点也不是叶结点

每个结点还有深度，比如上图左边的树的4号结点深度是3(深度是指从根结点到这个结点的层数，根结点为第一层)

二、二叉树

首先，我们来说一下二叉树的基本概念：

二叉树是一种非线性结构，二叉树是递归定义的，其结点有左右子树之分

二叉树的存储结构：

二叉树通常采用链式存储结构，存储结点由数据域和指针域(指针域：左指针域和右指针域)组成。

二叉树的链式存储结构也称为二叉链表，对满二叉树和完全二叉树可按层次进行顺序存储

它的特点有这些：

1、每个结点最多有两颗子树

2、左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒

3、即使某结点只有一个子树，也要区分左右子树

4、二叉树可为空，空的二叉树没有结点，非空二叉树有且仅有一个根节点

二叉树中有两种特殊的二叉树：满二叉树、完全二叉树

满二叉树：二叉树中每个内部结点都有存在左子树和右子树(或者说满二叉树所有的叶结点都有同样的深度)

满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树

(满二叉树的严格的定义是：一颗深度为h且有2h-1个结点的二叉树)

完全二叉树：

第一种解释：如果一颗二叉树除最右边位置上有一个或几个叶结点缺少外，其他是丰满的那么这样的二叉树就是完全二叉树(这句话不太好理解)，看下面第二种解释

第二种解释：除第h层外，其他各层(1到h-1)的结点数都达到最大个数，第h层从右向左连续缺若干结点，则这个二叉树就是完全二叉树

也就是说如果一个结点有右子结点，那么它一定也有左子结点

第三种解释：除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值，在最后一层上只缺少右边的若干结点

完全二叉树的形状类似于下图

(小软的个人理解：完全二叉树就是从上往下填结点，从左往右填，填满了一层再填下一层)

接下来我们来看看二叉树相关词语解释吧：

结点的度：结点拥有的子树的数目

叶子结点：度为0的结点(tips：在任意一个二叉树中，度为0的叶子结点总是比度为2的结点多一个)

分支结点：度不为0的结点

树的度：树中结点的最大的度

层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1

树的高度：树中结点的最大层次

二叉树基本性质：

性质1：在二叉树的第k层上至多有2k-1个结点(k>=1)

性质2：在深度为m的二叉树至多有2m-1个结点

性质3：对任意一颗二叉树，度为0的结点(即叶子结点)总是比度为2的结点多一个

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度至少为[log2n]+1，其中[log2n]表示log2n的整数部分

存储方式

存储的方式和图一样，有链表和数组两种，用数组存访问速度快，但插入、删除节点操作就比较费时了。实际中更多的是用链来表示二叉树(下面的实现代码使用的是链表)

具体代码实现如下：

上面的代码采用的是以前序遍历方式输入二叉树，当输入“#”时，指针指向NULL，说明是改结点是叶结点。

二叉树是不是很有意思呢，不要走开下期更加精彩。

下期再见喽~

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责任编辑：付子腾   毛丽颖