数字滤波器的幅频响应

幅频特性就是指系统频率响应的幅度随频率变化的曲线,幅度大的地方对应通带,也就是对应频率成分通过系统有较小衰减,幅

度小的地方对应阻带,也就是对应频率成分通过系统有较大衰减,

理想滤波器是分段常数型的,对应的脉冲响应是无限长的sinc函数,实际系统不可能实现,因此要对脉冲响应进行截断处理,这就

在频域产生吉布斯效应,也就是在通带和阻带内形成波动,并且不再尖锐截止,产生过度带

画幅频特性曲线主要是为了检查设计的滤波器是否满足要求,主要指标有:通带截止频率,阻带截止频率,通带波纹和阻带衰减

是否达到要求

幅度平方响应：.

数字滤波器的系统函数为H（Z），他在Z平面单位圆上的值为滤波器频率响应 H（e(jw)）(jw为指数)，其中幅度平方响应表征了滤波器频率响应的特征。

Example

Matlab求滤波器的幅频响应和单位脉冲响应

N=64; %滤波器长度
fs=80000; %采样频率
%各种滤波器的特征频率
fc_lpf=600;
%以采样频率的一半，对频率进行归一化处理
wn_lpf=fc_lpf*2/fs;
%采用fir1函数设计FIR滤波器
b_lpf=fir1(N-1,wn_lpf);

%求滤波器的幅频响应
m_lpf=10*log(abs(fft(b_lpf))^2); %% 注意是幅值的平方，由幅度的平方函数来确定系统函数，表征的是功率，反映的是功率的衰减

%绘制单位脉冲响应

stem(b_lpf);xlabel('n');ylabel('h(n)');

1 基本结构：

用系统函数进行分解，转换，得到不同的结构形式

IIR:直接1，直接2，级联，并联

FIR:直接卷积，级联，频率抽样，快速卷积，线性相位

除此之外，还有各型结构

2 数字滤波器的技术要求

系统函数在z平面单位圆上的频率响应表征三个参数。

幅频特性：表示信号通过滤波器后各频率的衰减情况。相频特性;：反映信号通过滤波器后各频率成分的延迟情况。

幅度平方响应

只需要逼近幅度响应，不考虑相位，如经典滤波器的逼近。根据该参数设计，很方便。H(e^jw)^2.即频率响应共轭积。H（z）*H（z^-1）.极点共轭，且以单位圆成镜像对称。

相位响应

群延迟响应

滤波器平均延迟。当要求滤波器为线性相位响应特性时，通带群延迟响应为常数。

2 IIR设计方法

用一个因果稳定的离散时不变系统的系统函数逼近所要求设计的性能要求。用有限精度算法实现该系统函数。

用模拟滤波器，转换为数字滤波器

计算机辅助设计，最优化设计方法

对于因果稳定系统，w由0到2pi变化，幅角变换为-2pim 为负，因此为延迟系统。当全部零点在单位圆内时，最小相位延时系统。全在单位圆外，最大相位延时系统。超前类似。

全通系统

对所有w，频率响应为1，或者常数。

应用：

1 任何一个因果稳定系统，都可以表示为一个全通系统和最小相位延时系统的级联。

2 如果设计的滤波器是非稳定的，可用级联全通系统的办法来稳定系统。

3 可作为相位群衡器用，即群延迟均衡器。

用AF设计IIR DF

s平面 -> z平面

方法：冲激响应不变法，阶跃响应不变法，双线性变换法。

冲激响应不变法，利用单位冲激响应等间隔抽样。优缺点：完全模仿，时域逼近良好

保持线性关系

缺点：

混叠，只适用于限带的低通，带通滤波器，且阻带衰减越大，失真越小，否则，要加保护滤波器

阶跃响应不变法：

阶跃响应模拟，等间隔抽样。与冲激响应类似，也会产生混叠失真，但比冲激响应不变法小。

以上两种，都是在时域内模拟，都会产生失真，为克服这个问题，采用双线性变换法

同样，也是频率响应的模拟，但，为了解决多值映射问题，将s平面压缩变换到中介s1平面的一条横带里，再通过变准映射，转到z平面。

压缩函数：w =c * tan（w1T/ 2）

该方法解决了混叠失真，但产生非线性关系。同时，要求模拟频率响应要分段常数性，不然会产生畸变。

预畸变：w =c * tg（w1/ 2）

常用模拟低通滤波器设计

一般以低通滤波器讨论逼近函数，其他由低通滤波器频率变换得到。如高通等。

1 有幅度平方函数得到系统函数。H（s）取左半极点，零点无要求。

2 巴特沃斯低通逼近

又叫最平幅度逼近

3 切贝雪夫

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