MMSE(Minimum Mean Square Error)

MMSE是一种最小化接收数据的MSE(均方误差)的模型。关于这句话，你的脑海里就会出现很多问题:

什么是均方误差?

“最小化MSE”的物理意义是什么?

让我们从一个我们现在非常熟悉的信道模型开始.

$y= Hx +n$

MMSE作为一种均衡器，是一种后处理算法，它帮助我们找出接收到的数据与原始数据(传输数据)尽可能接近的数据。简而言之，在MMSE中最重要的步骤是在下面的例子中找到一个矩阵G。如果我们假设没有噪声，这个[G]矩阵可以是信道矩阵的逆 $H^{-1}$ 。但是当有噪声时，我们需要使用一些能够反映噪声的模型。MMSE就是这些算法之一。

现在我们设定一个目标，也就是我们要解决的目标函数。然后，我们需要找出如何求解目标函数。有几种不同的方法可以达到这个解决方案。我的方法是解下面这个方程。当我第一次学习这个方程时，我的第一个问题是这个方程的意义是什么。如果您更仔细地观察它，您会发现这些方程表示一个特定的条件，即接收的数据向量和错误向量之间没有相关性。

$E\{y.e^H\} = 0$ OR $E\{e.y^H\} = 0$

我的下一个问题是“这个特定的条件如何成为最小化误差的最小最小误差的条件?”，简而言之，“这如何成为MMSE的条件?”

以下是一个FPGA工程师的评论，他教我在物理层的各种主题。一开始可能听起来不那么清楚，但是多想想就会明白了。

在MMSE中，矩阵G应该是这样一个矩阵，即利用接收信号的统计特性使MSE最小化。如果“y”和“e”之间仍然存在一定的相关性，那么应该可以利用这种相关性来降低“e”的范数。所以，在最优点，y和e之间应该没有相关性。(如果不是，我们应该能够利用相关性进一步降低“e”的范数。)

这就是为什么我们可以通过使用声称接收信号“y”与误差“e”之间的相关性为零的准则来推导出MMSE最优矩阵G的原因。

一旦你得到了要解的对象方程并理解了它的物理(或统计)意义，剩下的步骤就是高中数学了。我给你的一个建议是，在你找到最终的解决方案之前，不要过多地考虑解决方案的物理意义。大多数中间步骤是纯粹的数学操作，在大多数情况下没有具体的物理意义。当然，在某些情况下，我们需要考虑物理意义，例如在解决方案过程中删除某些术语时。但在大多数情况下，这个求解过程只是数学操作。

首先，您可以展开如下过程中给出的对象方程。不要害怕，拿出一张纸和一支笔，用手写下每一步。你会发现这是真正的高中数学。

现在我们有了用两个E{}块表示的矩阵[G]。让我们进一步扩展这些块。
然后你可能会问为什么要做更多的扩展?为什么我们不能使用这个结果作为解决方案?
要使用它作为一个解，你需要知道方程中的所有值。
让我们看看这一行(上面的最后一行)中的每一项，并检查我们是否知道所有的值。
我们能知道[y]向量吗?是的，因为它是接收方首先实际检测/测量的值。
那么[x]向量呢?它是传输数据。如果这个传输的数据是一个参考信号，我们可以说我们知道这个值，但是如果它是用户数据，我们就不知道这个值。
现在让我们逐个展开每个E{}块。让我先试试第二个E{}块。(我先扩展第二个block并没有什么特别的原因。我只是做了:)。在这个过程中，您可以看到一些术语(用颜色标记)被删除，并被其他更简单的形式所取代。这是基于术语的物理性质。对于如何删除或替换这些术语，没有纯粹的数学上的原因。

现在我们有了由已知值组成的表达式。[H]为信道矩阵。我们假设在信道估计过程中我们已经求出了这个矩阵。我们知道P，因为我们决定了传输功率。那么“噪声方差”呢?我们不可能确切地知道每个接收到的数据的噪声值，但是我们可以计算出噪声的长期统计特性。噪声方差是噪声的一种长期统计性质。

接下来，让我们展开第一个E{}块。它可以如下所示展开。在这个过程中，您也会看到一些术语(用颜色标记)被删除，并被其他更简单的形式所取代。这是基于术语的物理性质。

现在我们有了两个E{}块的展开形式，让我们用展开的表达式重写[G]矩阵，它变成如下形式。

$G = E\{xy^H\}E\{yy^H\}^{-1}$

$= (P.I)H^H (H(P.I)H^H+\sigma ^2.I)^{-1}$

$=P.H^H(PHH^H+\sigma^2.I)^{-1}$

$=H^H(HH^H+\frac{\sigma^2}{P}.I)^{-1}$

现在你看到整个[G]矩阵本身是用所有已知的值表示的。在实际的DSP或FPGA中要解决这个表达式，可能需要进一步的操作(比如:矩阵分解)，但只是为了理解MMSE的概念，这就足够了。

即使你通过这个漫长而乏味的数学过程，我们还面临另一个大的问题：为了推导G，我们需要知道的信道矩阵H，我们怎么知道它?'。这是你需要学习的另一个复杂和无聊的话题叫做“信道估计”。
注:以上方程中H的解释因系统的实现而略有不同。如果我们假设一个系统不做任何放大或预编码，H只表示空气信道的特性，如图所示。但如果我们假设一个更现实的实现，执行一些预编码和扩增，H表示一个矩阵，其中包括预编码和扩增的性质。在数学上，这里的H可以表示为'Amp * H * P'，其中Amp为放大器，H为空气中的信道矩阵，P为预编码矩阵。

如果您对获取MMSE实现的一些示例感兴趣，请参阅此页。我发布了一些MMSE均衡的Matlab例子。

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