独立重复实验与二项分布

前言

一、相关概念

独立重复试验

一般地，在相同条件下重复做的\(n\)次试验称为\(n\)次独立重复试验。请注意这一概念的抽象性，比如一个狙击手10次射击，就可以看成做了10次独立重复试验；再比如取了5个相同质量的灯泡，相当于做了5次独立重复试验。

介绍独立重复试验这一概念，是为二项分布做铺垫。

二项分布

一般的，在\(n\)次独立重复试验中，设事件\(A\)发生的次数为\(X\)，每次试验中事件\(A\)发生的概率为\(p\)，则事件\(A\)恰好发生\(k\)次的概率为\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)，(\(k=0，1，2，\cdots，n\))，此时称随机变量\(X\)服从二项分布，记为\(X\sim B(n，p)\)，并称\(p\)为成功概率。

解释：二项展开式\([p+(1-p)]^n=1\)中，事件\(A\)发生\(k\)次，即对应展开式中的含\(p^k\)的项，其为\(C_n^k\cdot p^k\cdot C_{n-k}^{n-k}\cdot (1-p)^{n-k}\)，即\(P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\)，

若随机变量\(X\)服从二项分布，记为\(X\sim B(n，p)\)，则\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)；

二、简单应用

例1某吊灯上并联着 3 个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常工作的概率都是0.7，则在这段时间内吊灯能正常照明的概率是________．

解析：因为 3 个灯泡是并联，每个灯泡是否能正常照明是相互独立的，不受其他灯泡的影响，所以可以看成是 3 次独立重复试验。

设这段时间内能正常照明的灯泡的个数为\(X\)，即随机变量\(X\)服从参数为3和0.7的二项分布，即\(X\sim B(3，0.7)\)，

这段时间内吊灯能照明表示3个灯泡中至少有1个灯泡能正常照明，即\(X＞0\)，

\(P(X＞0)＝1－P(X＝0)＝1－(1－0.7)^3＝0.973\)。

故这段时间内吊灯能正常照明的概率是为0.973.

引例比如，一个射击机器人连续射击10次，每次击中目标的概率为0.99，试回答以下问题：

①每一次射击的事件\(A_1\)、\(A_2\)、\(\cdots\)，\(A_{10}\)之间的关系是什么？

分析：\(A_1\)、\(A_2\)、\(\cdots\)，\(A_{10}\)之间是相互独立的。

②10次射击中恰好前三次击中目标(事件\(A\))的概率；

分析：\(0.99^3\times0.01^7\)，

③10次射击中恰好最后三次击中目标(事件\(B\))的概率。

分析：\(0.99^3\times0.01^7\)

④事件\(A\)与事件\(B\)是什么关系？

分析：互斥，

⑤10次射击中恰好连续三次击中目标(事件\(C\))的概率。

分析：\(8\times0.99^3\times0.01^7\)

⑥事件\(A、B\)与事件\(C\)是什么关系？

分析：事件\(C\)包含事件\(A，B\)。

⑦10次射击中恰好有3次击中目标的概率。

分析：\(C_{10}^3\times0.99^3\times0.01^7\)，它包含前面的情形。

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