《模拟信息转换器（AIC）的实现技术研究》读书笔记
此论文的出现十分有必要，由于压缩感知要处理的信号是有限维的离散信号，并且是可以压缩（可稀疏表示）的离散信号，若以奈奎斯特速率采样模拟信号得到离散信号，再以压感的框架去处理，这如何体现出压感的优势呢？
为此，我将从此论文出发，试图找到答案。
模拟信息转换器的实现技术研究
直入要害，提出压感的问题（本人觉得提出的问题很良心，正是我想问的却无法系统表达的问题）：
压感采样理论利用观测矩阵 
，采样 N * 1 维离散时间信号矢量，并通过相应算法高概率重构原始信号，其中原始信号应满足在表达字典 是可稀疏或可压缩的，并且观测矩阵 满足RIP准则。 所以，压缩来样用于超宽带模拟信号的处理， 需要用ADC采样后，将采样信号作为压缩采样系统的输入， 而这显然并没有缓解ADC 的压力，压缩采样理论要进 入实用阶段， 仍存在下述问题， 有待解决：
（1）压缩采样是在离散信号的背景下提出来的理论；
（2）对多维矩阵进行矩阵相乘运算，在硬件实现上具有一定的难度；
（3）需要一套从连续信号直接得到离散观测点的方案；
针对上述问题， Saini Kirolos 等人提出了一套将压缩采样理论应用于模拟信号的解决方案，即模拟信息转换器（AIC)， AIC无须将模拟信号数字化， 可直接采样模拟信号，得到离散的观测样点，典型的AIC系统框图如下图所示：
（这是真的吗？继续看下去，作者如何描述这种方法。）
典型AIC系统框图
如果模拟信号 可由几个连续函数构成的表达字典中的有限个函数线性表示：
其中 是线性表示的系数，且 只有少数几个大系数，其余为0，或重新排序后按指数规律衰减为0，则称 x(t) 为可压缩的。
（这里解释下上面一段的描述：我的理解是这个时间有限的模拟信号 x(t)，可以稀疏表示，则称其为可压缩。公式的表述可写为：，至于 只有少数几个大系数，其余为0，或重新排序后按指数规律衰减为0，这步正式说 是系数的吗？按指数规律衰减，表示衰减的很快，很小的数近似为0了。）
尽管表达字典中的函数 可能带宽很大，但是信号本身的自由度较小，所以AIC技术以几倍于信号自由度的速率采样，而不是至少两倍于信号带宽的奈奎斯特采样速率， 如此为AIC采样高带宽的可压缩模拟信号提供了可能。
可见，模拟信息转换器（AIC）可以突破奈奎斯特采样的限制。
定义频带压缩率（Band Compression Rate,BCR)为：
即频带压缩率 = 奈奎斯特采样率 / 信息采样率；
BCR用来衡量AIC的性能压缩效率，当重构效果相同时，BCR的值越大，说明AIC效率越高，反之AIC效率越低。
我们且看论文如何具体实现AIC：
文章中提出：AIC主要有三种实现结构：预调制型实现结构，直接型实现结构和分段型实现结构。
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（预调制型实现结构超过了我的理解范围，这里不在讨论）
（暂时对AIC实现结构没能理解清楚，等明白了再更新。）
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上面的问题暂时放下的同时，我又发现为何执着于对模拟信号的处理呢？（虽然是一定要解决的），暂时处理离散信号也未尝不可，下面再次梳理下离散信号的压缩采样与重构算法：
相关技术的研究现状：
传统的数字信号处理框架主要基于傅氏变换和奈奎斯特采样定理，在很多应用领域， 进入了一个难以解决 的瓶颈。用新的变换空间表示信号， 建立一种新的采样机制， 突破奈奎斯特采样的限制， 以较低的速率采样， 并且不会出现信息损失或损失少量信息， 同时能够无失真重构原始信号， 成为当务之急。2006年E. Candes, D.Donoho提出了压缩采样（Compressive Sampling 或Compressive Sensing, CS）理论， 成功的解决了上述问题。
CS理论利用与表达基（稀疏基）不相干的观测矩阵， 以低于奈奎斯特的来样速率非自适应的采样可稀疏表示的信号， 得到低维的离散信息矢量， 该信息矢量包含了原始信号的全部信息， 最后通过行之有效的优化算法高概率恢复原始信号。基本过程如下图所示：
压缩采样的基本框架
CS 理论由 Candes，Romberg , Donoho 和 Tao 提出，文献在2006 年正式发表。 众所周知，压感理论的一个重要的前提是找到信号的稀疏域，它直接关系到压缩感知的重构精度。对于信号的稀疏表示问题，大量的研究表明过完备字典下的信号稀疏表示更加有效， 而过完备字典下稀疏分解的研究进展也会进一步推动 CS 理论的发展。H.Rauhut 等人在2008年2月将 CS 理论从正交基空间推广到了过完备字典，并证明了 一个由恃定类型的随机矩阵和一个确定性的字典构成 的炬阵具有很小的有限等距常量， 关于这个字典稀疏的信号可以通过BP算法从少量的随机观测值中恢复。 文献还进一步用阀值算法作为恢复算法并给出了该算法保证高概率重构的条件。 不过， 至今对 CS 理论的研究还大多集中在固定的正交基空间。
CS 理论的关键词主要有三个： 稀疏表示， 测量矩阵，优化算法。
稀疏表示能有效提取信号的本质特征，便于后期的信号处理，很大程度上降低了信号处理的成本。 所以，在信号处理领域，往往用信号在某个域的稀疏逼近代替原有信号， 信号表示最为常见的是加性分解，例如通过傅里叶变换，在频域上表示三角函数：利用小波变换将信号在 小波基上展开，得到信号的小波域表示；对信号进行时频分析，在时频面上展开信号，得到时频表示。 简言之，信号的稀疏表示就是在某个变换域，以尽可能少的基函数准确的表示信号， 提取信号的本质特征。找到一种有效、简洁的信号表示方法在信号处理中较为关键，对数字 信弓处理理论的研究及工程应用具有重要的意义。如今流行的JPEG2000压缩编码标准就是以图像在某个域可稀疏表示为前提 条件。
测量矩阵的设计是 CS 理论的关键， 关系到信号重构的成败。 D.L.Donoho 证明， 测量矩阵在满足 UUP 和 ERP 条件下， 利用基追踪算法（ Basis Pursuit, BP ）能够高概率重构原始信号。 Tao 通过研究进一步证明了在测量矩阵满足RIP ( Restiicted Isometry Property）准则的前提下，通过BP算法可以实现稀疏信号的稳健恢复， 即使在有噪声的情况下也能保证信号的重建效果。 一般情况下， 部分傅里叶矩阵、 伯努利矩阵、 高斯随机矩阵以极高的概率满足 RIP 准则。 然而 RIP 准则只是准确重建的充分条件，并非必要条件。 M.Rudelson 和 R.Veshynin 则利用高维超立方体随机切片的几何性质,证明了如果测量矩阵的所有行矢量能够张成一个随机子空间，通过BP算法可以对信号进行重建。
压感的优势：
传统的数据来集基于奈奎斯特采样定理， 指出要无失真恢复原始信号， 必须满足采样频率 大于或等于信号最高频率的两倍。此时，对于许多需要对超宽带信号进行处理的实际应用的场合，实时高速的采样信号成为一个难题，对ADC和处理器造成了巨大的压力。在信号处理过程中，有限的带宽内，信号往往具有少量的信息自由度，运用奈奎斯特采样会得到大量冗余信息。 高效的信号采样机制应该能够以较低的速率，具有针对性的采样有效信息，舍弃大量兀余信息， 并且能够准确重建。 如果能找到这样一种采样机制， 则能有效避开奈奎斯特采样的瓶颈。
压感由此诞生：
2006年，Donoho E. Candes等人提出了压缩采样（Compressive Sampling, CS）的概念， 又被称作压缩感知（Compressed Sensing, CS）， 以远低于奈奎斯特来样频率采样，可高概率重构原始信号。
信号的稀疏表示：
信号的稀疏性指连续时间信号的信息采样率可能比按带宽选择的采样率小得多，或者离散时间信号依赖的自由度比信号长度小得多。简言之，当用适当的基表示信号时， 如果有更简洁的表达，则称该信号是可稀疏表示的。
设有一个N维离散实值信号 ，可有基函数 线性表示，
其中 ， x是信号的时域表示， 是信号在 域的稀疏表示。 基函数 称为表达基或表达字典，若α仅有K ( K <<N ）个非零系数，或 α 经重新排序后按指数规律衰减为零，则称 α 为 x 在 域的稀疏表示，即稀疏矢量，K称为稀疏矢量α的稀疏度。常用的表达基有离散余弦表达基，小波变换基， 过完备原子库等。信号可稀疏表示是压缩采样理论的前提条件， 稀疏度决定了压缩采样的效率，稀疏度越大，压缩采样效率越低。
离散信号的压缩采样：
压缩采样获取处理对象最重要的信息，通过构建一个M×N维的测量矩阵 ，对N维离散时域稀疏信号进行非自适应的线性投影，得到 M(M <<N）维的信息矢量，然后通过重构算法高概率恢复原始信号。
设N维时域离散信号 在 域的稀疏矢量为α，测量矩阵为，M维的观测矢量为y(m),m = 1,2…M，则y(m）表示如下：
其中 称为恢复矩阵，下面用图来形象表达压感过程（很经典的一幅图）：
凌晨了，今天就到这里吧，明天在更新下面的部分。
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