BST AVL 红黑树 B B+树

二叉搜索树(BST)

简明BST递归定义(Knuth Donald)：

对于任意一个节点均满足：
1. 所有位于左子树的节点值均比该节点值小
2. 所有位于右子树的节点值均大于等于该节点值
3. 所有左子树和右子树也必须是BST

AVL

简明AVL定义(Knuth Donald)：

对于任意一个节点均满足：

1. 左子树和右子树的高度差小于等于1

红黑树

简明RBTREE定义(Knuth Donald)：

1. 每个节点要么是红色，要么是黑色
2. 根节点是黑色
3. 所有叶节点(NIL)都是黑色
4. 如果一个节点是红色，那么它的两个孩子都是黑色
5. 从任意一个节点出发，到达其后代NIL节点的路径中都包含相同个数的黑节点

B+树

定义Branch Factor: b 为一个节点可以拥有的最大子节点的个数，那么：

1. 对于根节点，如果整棵树的节点个数大于1，那么根节点的子节点数量大于等于2
2. 对于内部节点，其子节点个数m必须满足 b/2 <= m <= b
3. 对于叶节点，其子节点个数m必须满足 b/2 <= m <= b
4. 每个节点内部的key值是已经排序的
5. 叶节点之间以linked list方式相连并且是有序的
6. 从根节点到叶节点的路径长度均相同

树的特性

基于上面对各种树的定义，我们可以推出它们的一些相关特性，本节我们将会罗列并解析这几种树的一些相关特性。

复杂度

我们先比较一下它的在进行各种操作时的复杂度：

Complexity

上面表格每个单元格显示的是平均复杂度/最差复杂度。我们可以看到除了BST外，其他树在查找，插入和删除操作时的复杂度均为O(logn)，因为它们都是平衡树，而BST不是。相同的渐近复杂度并不意味着它们毫无区别，毕竟它们可能会相差数倍的关系。接下来我们会描述这些树的一些具体特性，并突出它们的主要区别。

树的应用

BST

通常情况下非平衡的BST都仅仅当作一种概念，很少有实际场景会使用这种结构，因为查找在最差的情况下会出现O(n)的时间复杂度。虽然如此，我们依然可以了解一下它能够实现点什么，即使我们实际应用不会这么做。

BST可以实现：

排序
优先队列

BST排序的实现是把输入的元素一个个插入到BST，然后进行一次中序遍历，平均复杂度为O(nlogn)。优先队列(min)的实现是从根节点出发一直向左找到到最小节点，平均复杂度为O(logn)，最差状况为O(n)，显然它在时间复杂度上是比不上min-heap的。

AVL

AVL是历史上出现的第一种平衡二叉树，它现在的很多应用都已经被红黑树代替。主要原因是它的平衡限制比较红黑树严格，在插入或者删除节点的时候很容易违反平衡限制条件，造成频繁的树结构调整和重新平衡。AVL限制对每个节点左子树和右子树的高度相差不超过一，所以它是高度平衡的二叉树，因而在进行查找的时候效率很高。而红黑树的平衡限制比AVL要弱，甚至左右子树的高度差等于2倍，所以红黑树的查找效率比AVL要低。但是，红黑树不需要频繁重平衡(得益于其宽松的限制条件)，所以在插入删除较频繁的环境中红黑树胜出。

红黑树

红黑树虽然定义复杂，但是它的限制条件是相对AVL宽松的。所以在进行插入删除操作的时候出现违反限制条件的状况较少，因而重平衡操作出现的机会比AVL少。基于上述原因，许多需要进行频繁删插操作的场景都使用来红黑树：

Linux epoll
C++ STL(sert, map)
Completely Fair Sheduler

B+树

B+树主要应用于文件系统中，最大的原因是它高度平衡，branch factor较大，这样可以减少磁盘IO。

B+树主流应用：

数据库索引(SQL Server, PostgreSQL, SQLite)
文件系统(NTFS XFS, NSS, JFS)

树的区别

比较AVL与红黑树的优缺点

在前面已经比较过了这两者的优缺点，为了突出它们的区别，特意把上面一段文字复制到本问题下：

AVL是历史上出现的第一种平衡二叉树，它现在的很多应用都已经被红黑树代替。主要原因是它的平衡限制比较红黑树严格，在插入或者删除节点的时候很容易超出平衡限制条件，造成频繁的树结构调整和重新平衡。AVL限制对每个节点左子树和右子树的高度相差不超过一，所以它是高度平衡的二叉树，因而在进行查找的时候效率很高。而红黑树的平衡限制比AVL要弱，甚至左右子树的高度差等于2倍，所以红黑树的查找效率被AVL要低。但是，红黑树不需要频繁重平衡(得益于其宽松的限制条件)，所以在插入删除较频繁的环境中红黑树胜出。REF

同时我们看看Knuth对于AVL的评价：

Knuth AVL Tree Comment

为何数据库索引使用B+树而不是红黑树(或其他)

要理解这个问题，我们先分析一下数据库的性质。数据库的数据被分割为多个Page以文件的形式储存在硬盘上的。因此我们每次进行数据库查询其实是在做Disk IO，而Disk IO是时间开销较大的操作(关键!)。而数据库在进行索引lookup的时候每次access一个page都是一次IO。因此我们需要选择一种能够尽量少做Disk IO的数据结构来构建索引。B+树之所以被选中主要是因为它的branch factor较大，树高较小。因而在进行索引搜索的时候需要进行的IO数量也较其他树的数量小，所以是最合适的做索引的数据结构。基于上述原因，在应用场景需要选树的时候我们都会做如下的思考：基于内存操作的我们考虑红黑树，AVL和BST，基于磁盘操作的我们优先考虑B或B+树。REF

我们在这边引用一段Knuth对于B+树的精彩评价来佐证我们的观点：

Knuth B+ Tree Comment