匹配滤波器的物理解释
滤波器是一种选频装置,可以使信号中特定的频率成分通过,而极大地衰减其它频率成分。在测试装置中,利用滤波器的这种选频作用,可以滤除干扰噪声或进行频谱分析。广义地讲,任何一种信息传输的通道(媒质)都可视为是一种滤波器。因为,任何装置的响应特性都是激励频率的函数,都可用频域函数描述其传输特性。
匹配滤波器的物理解释
匹配滤波器是一种非常重要的滤波器,广泛应用与通信、雷达等系统中。匹配滤波器的推导数学公式看起来很负责,在通信系统、雷达系统、随机信号处理等很多教科书中都有详细的推导过程。最开始的时候,顺着推导的过程,基本也能推导下来,但对其内在的涵义却无半点认识,可以说完全淹没在公式推导的海洋了。
张直中老师可以说是新中国雷达事业的开拓者之一。就目前的阅读范围来看,张老师在其早期的著作《雷达信号的选择与处理》一书中对匹配滤波器的讲解最为透彻。说句题外话,这本1979年出版的老书,充满了哲学思辨的色彩,让人读起来满口余香,也能让我们充分领略老一辈科学家宽广深厚的学术素养。
所谓的最优滤波器,实际上都是在某个准则下的最优。匹配滤波器对应的最优的准则是输出信噪比(SNR)最大。而且还有一个前提条件是在白噪声背景下。推导很多地方都有,最后的结果就是匹配滤波器的表达式为:
H(f)=S*(f)
也即是说,匹配滤波器的频率响应是输入信号频率响应的共轭。这看起来又很简单,那么如何从物理直观上理解匹配滤波器呢?
一方面,从幅频特性来看,匹配滤波器和输入信号的幅频特性完全一样。这也就是说,在信号越强的频率点,滤波器的放大倍数也越大;在信号越弱的频率点,滤波器的放大倍数也越小。这就是信号处理中的“马太效应”。也就是说,匹配滤波器是让信号尽可能通过,而不管噪声的特性。因为匹配滤波器的一个前提是白噪声,也即是噪声的功率谱是平坦的,在各个频率点都一样。因此,这种情况下,让信号尽可能通过,实际上也隐含着尽量减少噪声的通过。这不正是使得输出的信噪比最大吗?
另外一方面,从相频特性上看,匹配滤波器的相频特性和输入信号正好完全相反。这样,通过匹配滤波器后,信号的相位为0,正好能实现信号时域上的相干叠加。而噪声的相位是随机的,只能实现非相干叠加。这样在时域上保证了输出信噪比的最大。
实际上,在信号与系统的幅频特性与相频特性中,幅频特性更多地表征了频率特性,而相频特性更多地表征了时间特性。匹配滤波器无论是从时域还是从频域,都充分保证了信号尽可能大地通过,噪声尽可能小地通过,因此能获得最大信噪比的输出。
实际上,匹配滤波器由其命名即可知道其鲜明的特点,那就是这个滤波器是匹配输入信号的。一旦输入信号发生了变化,原来的匹配滤波器就再也不能称为匹配滤波器了。由此,我们很容易联想到相关这个概念,相关的物理意义就是比较两个信号的相似程度。如果两个信号完全一样,不就是匹配了吗?事实上,匹配滤波器的另外一个名字就是相关接收,两者表征的意义是完全一样的。只是匹配滤波器着重在频域的表述,而相关接收则着重在时域的表述。
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