关于Euclid算法
Euclid算法大概是我最早接触的东西了吧,下面是学长传授的代码:
1 int GCD(int a,int b){ 2 return b==0?a:GCD(b,a%b); 3 }
短小精悍。当时也没理解为什么这段代码可以求出$a$和$b$的最大公因数。现补下证明。
$a$和$b$的最大公因数记为$gcd(a,b)$,简写为$(a,b)$.
证明Euclid算法的正确性,即证明$(a,b)=(a,b-ka)$.
设$x=(a,b)$,$y=(a,b-ka)$,
$\because x=(a,b)$,
$\therefore x|a$,$x|b$,
$\therefore x|(-ka+b)$,
$\therefore x|(a,b-ka)=y$,
故$x \leqslant y$.
$\because y=(a,b-ka)$,
$\therefore y|a$,$y|(b-ka)$,
$\therefore y|[ka+(b-ka)]=b$,
$\therefore y|(a,b)$,即$y|x$,
故$y \leqslant x$.
$\therefore x=y$.
即$(a,b)=(a,b-ka)$.证毕.
当$k=\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$时,即为Euclid算法.
上述Euclid算法仅求出$(a,b)$,而不能得到$(a,b)$关于$a$和$b$的线性表示,故有了拓展的Euclid算法:
1 int EXGCD(int a,int b,int &x,int &y){ 2 if(b==0){ 3 x=1;y=0; 4 return a; 5 } 6 int d=EXGCD(b,a%b,x,y); 7 int t=x; 8 x=y;y=t-a/b*y; 9 return d; 10 }
上述算法可求得$x$和$y$,使满足$(a,b)=ax+by$.
为便于证明,以非递归版本为例:
1 int EXGCD(int a,int b,int &x,int &y){ 2 int x0=1,x1=0,x2=a; 3 int y0=0,y1=1,y2=b; 4 while(y2!=0){ 5 int q=x2/y2; 6 int t0=x0,t1=x1,t2=x2; 7 x0=y0;x1=y1;x2=y2; 8 y0=t0-q*y0;y1=t1-q*y1;y2=t2-q*y2; 9 } 10 x=x0;y=x1; 11 return x2; 12 }
若$ax_0+bx_1=x_2$,$ay_0+by_1=y_2$,
不难得到$a(x_0-qy_0)+b(x_1-qy_1)=x_2-qy_2$.
上述等式正式保证了拓展Euclid算法的正确性。
拓展Euclid算法可用来求模线性方程$ax+by=(a,b)$的解。
特别地,当$(a,b)=1$时,$x$即为$a$在$b$下的乘法逆元。
求$1$到$n$的数在$p$下的乘法逆元可以做到$O(n)$的复杂度:
令$inv_i$为$i$在$p$下的逆元,则有$inv_x \equiv [(p- \lfloor \frac{p}{x} \rfloor ) \times inv_{p\%x}](mod p)$.
证明:设$p=kx+r$,其中$0 \leqslant r < x$,
那么原式等于$inv_x \equiv [(p-k) \times inv_r](mod p)$
$\Leftarrow r \equiv [(p-k) \times x](mod p)$
$\Leftarrow r \equiv -kx(mod p)$
即$kx+r \equiv p \equiv 0(mod p)$,证毕.
故我们可以递推得到各个逆元。
转载于:https://www.cnblogs.com/barrier/p/6546094.html
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