➤00 矢量、矩阵

在数学上，矢量和矩阵之间具有很强的联系。矢量可以看成行数、或者列数为1的矩阵。所以它可以被分成行矢量，或者列矢量。

下面分别表示了一个行矢量和一个列矢量。

xˉ=[x1,x2,x3,⋯,xn]\bar x = \left[ {x_1 ,x_2 ,x_3 , \cdots {\rm{,}}x_n } \right]xˉ=[x1,x2,x3,⋯,xn]

xˉ=[x1x2⋮xn]\bar x = \begin{bmatrix} \begin{matrix} {x_1 }\\{x_2 }\\\vdots\\{x_n }\\\end{matrix} \end{bmatrix}xˉ=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤

通常情况下，如果不加以特别的说明，矢量都当做列矢量，通过转置来转换行向量与列向量。

numpy是python中进行数学运算的库，包括有对于矩阵运算的各种操作。下面对于在numpy中表示矢量、矩阵中与数学上的对应关系进行梳理。

➤01 Numpy中的矩阵

1.矩阵初始化

(1) 初始化

获得一个两行三列的矩阵：R2×3R_{2 \times 3}R2×3

Z = array([[1,2,3],[2,3,4]])
printf(Z)
printf(Z.shape)

输出结果：

[[1 2 3]
[2 3 4]]

3

通过numpy.array（）函数可以将一个二维的list转换成numpy中的矩阵。

获得一个随机的R2×3R_{2 \times 3}R2×3

X = random.randn(2, 3)
printf(X)
printf(X.shape)

输出：

[[ 2.21298231 0.28727186 0.2434369 ]
[-0.90934184 -0.10003816 2.27751277]]

(2) 访问行或者列

对于numpy中的二维矩阵中，访问行向量使用第一个索引即可。如果访问列向量，则需要转置之后在访问。

2.矩阵转置

printf(Z.T)

输出结果：

[[1 2]
[2 3]
[3 4]]

3.矩阵的点积

printf(dot(Z.T, Z))
printf(dot(Z, Z.T))

输出结果

[[ 5 8 11]
[ 8 13 18]
[11 18 25]]

[[14 20]
[20 29]]

➤02 Numpy中矩阵与向量

对于numpy中的函数来讲，它的矩阵、向量应该是一个二维矩阵。

1.行向量

Z = array([[1,2,3]])

显示：[[1 2 3]]， shape:(1,3)

ZT⋅Z=[123246369]Z^T \cdot Z = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 & 2 & 3\\2 & 4 & 6\\3 & 6 & 9\\\end{matrix} \end{bmatrix}ZT⋅Z=⎣⎡123246369⎦⎤
Z⋅ZT=14Z \cdot Z^T = 14Z⋅ZT=14

2.列向量

Z = array([1,2,3]).reshape(-1, 1)
printf(Z)
printf(Z.shape)

ZT⋅Z,Z⋅ZTZ^T \cdot Z,\,\,Z \cdot Z^TZT⋅Z,Z⋅ZT分别为：

[[14]]

[[1 2 3]
[2 4 6]
[3 6 9]]

➤03 Numpy一维数组

如果只使用numpy中的array定义一个一维数组，那么这个矩阵在后面的操作中就不再区分行向量，还是列向量了。

Z = array([1,2,3])
printf(Z)
printf(Z.shape)

[1 2 3]
(3,)

对于两个等长的一维numpy的数组，无论如下进行什么操作，所得到的都是矢量之间的内积。

printf(dot(Z.T, Z))
printf(dot(Z, Z.T))

结果：

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