本文是 2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案 的参考答案。

▌第四题

4 .试写出下图所示的系统输入、输出关系。

求解：

（1）第一小题

在原来系统框图的基础上，增加节点变量y′(t),y′′(t)y'\left( t \right),\,\,y''\left( t \right)y′(t),y′′(t)。

^{▲ 系统框图}

然后在根据综合器列写出方程：

y′′(t)=−4y′(t)−y(t)+x(t)y''\left( t \right) = - 4y'\left( t \right) - y\left( t \right) + x\left( t \right)y′′(t)=−4y′(t)−y(t)+x(t)

化简成标准的描述连续时间系统的微分方程的形式：
y′′(t)+4y′(t)+y(t)=x(t)y''\left( t \right) + 4y'\left( t \right) + y\left( t \right) = x\left( t \right)y′′(t)+4y′(t)+y(t)=x(t)

（2）第二小题

在系统框图上增加对应节点的变量。

^{▲ 系统框图}

根据综合器列写出差分方程：

13y[n+1]=−23y[n]+x[n]{1 \over 3}y\left[ {n + 1} \right] = - {2 \over 3}y\left[ n \right] + x\left[ n \right]31y[n+1]=−32y[n]+x[n]

然后整理成标准的后向差分方程形式：

13y[n]+23y[n−1]=x[n−1]{1 \over 3}y\left[ n \right] + {2 \over 3}y\left[ {n - 1} \right] = x\left[ {n - 1} \right]31y[n]+32y[n−1]=x[n−1]

（3）第三小题

在系统两个综合器之间的节点设置临时变量m[n],m[n−1],m[n−2]m\left[ n \right],m\left[ {n - 1} \right],m\left[ {n - 2} \right]m[n],m[n−1],m[n−2]。

^{▲ 系统框图}

然后根据两个综合器分别列写出两个差分方程：

m[n]+m[n−1]+2m[n−2]=x[n]m\left[ n \right] + m\left[ {n - 1} \right] + 2m\left[ {n - 2} \right] = x\left[ n \right]m[n]+m[n−1]+2m[n−2]=x[n]

y[n]=2m[n−1]+5m[n−2]y\left[ n \right] = 2m\left[ {n - 1} \right] + 5m\left[ {n - 2} \right]y[n]=2m[n−1]+5m[n−2]

使用算子方法来消除中间变量m[n]m\left[ n \right]m[n]。

第一个差分方程可以表示成：
x[n]=(1+D+D2)m[n]x\left[ n \right] = \left( {1 + D + D^2 } \right)m\left[ n \right]x[n]=(1+D+D2)m[n]
第二个差分方程可以表示成：
y[n]=(2D+5D2)⋅m[n]y\left[ n \right] = \left( {2D + 5D^2 } \right) \cdot m\left[ n \right]y[n]=(2D+5D2)⋅m[n]

上面两个算子方程相除：
x[n]y[n]=1+D+D22D+5D2{{x\left[ n \right]} \over {y\left[ n \right]}} = {{1 + D + D^2 } \over {2D + 5D^2 }}y[n]x[n]=2D+5D21+D+D2

所以，
(2D+5D2)x[n]=(1+D+D2)y[n]\left( {2D + 5D^2 } \right)x\left[ n \right] = \left( {1 + D + D^2 } \right)y\left[ n \right](2D+5D2)x[n]=(1+D+D2)y[n]

则系统的差分方程为：

y[n]+y[n−1]+y[n−2]=2x[n−1]+5x[n−2]y\left[ n \right] + y\left[ {n - 1} \right] + y\left[ {n - 2} \right] = 2x\left[ {n - 1} \right] + 5x\left[ {n - 2} \right]y[n]+y[n−1]+y[n−2]=2x[n−1]+5x[n−2]

※ 附录

■ 相关文献链接:

2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第一小题
2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第二小题
2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第三小题
2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第四小题
2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第五小题
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2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第七小题
2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第八小题
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2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第四小题

▌第四题

4 .试写出下图所示的系统输入、输出关系。

求解：

（1）第一小题

（2）第二小题

（3）第三小题

※ 附录

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