DFP算法及Matlab程序

作业二 用DFP算法求解，取，。一、求解：求迭代点x1令，得的极小值点，所以得：于是，由DFP修正公式有下一个搜索方向为求迭代点x2令，得的极小值点于是得：，所以：，因Hesse阵为正定阵，为严格凸函数，所以为整体 极小点。二、DFP算法迭代步骤如下：(1)给定初始点，初始矩阵(通常取单位阵)，计算，令k=0，给定控制误差。(2)令。(3)由精确一维搜索确定步长，(4)令。(5)若，则停； 否则令 ， 。(6)由DFP修正公式得。令k=k+1，转步骤(2)DFP算法matlab程序实现function [best_x,best_fx,count]=DFP(x0,ess)syms x1 x2 t;f=x1*x1+2*x2*x2-2*x1*x2-4*x1;fx=diff(f,x1);%求表达式f对x1的一阶求导 fy=diff(f,x2);%求表达式f对x2的一阶求导fi=[fx fy];%构造函数f的梯度函数%初始点的梯度和函数值g0=subs(fi,[x1 x2],x0);f0=subs(f,[x1 x2],x0);H0=eye(2);%输出x0,f0,g0x0f0g0xk=x0;fk=f0;gk=g0;Hk=H0;k=1;while(norm(gk)>ess)%迭代终止条件||gk||<=ess disp('************************************************************') disp(['第' num2str(k) '次寻优']) %确定搜索方向 pk=-Hk*gk'; %由步长找到下一点x(k+1) xk=xk+t*pk'; f_t=subs(f,[x1 x2],xk); %构造一元搜索的一元函数φ(t) %由一维搜索找到最优步长 df_t=diff(f_t,t); tk=solve(df_t); if tk~=0 tk=double(tk); else break; end %计算下一点的函数值和梯度 xk=subs(xk,t,tk) fk=subs(f,[x1 x2],xk) gk0=gk; gk=subs(fi,[x1 x2],xk) %DPF校正公式，找到修正矩阵 yk=gk-gk0; sk=tk*pk'; Hk=Hk-(Hk*yk'*yk*Hk)/(yk*Hk*yk')+sk'*sk/(yk*sk')%修正公式 k=k+1;enddisp('结果如下：') best_x=xk;%最优点best_fx=fk;%最优值count=k-1;程序执行结果在命令窗口输入以下命令：>> x0=[1 1]; ess=1e-6; [best_x,best_fx,count]=DFP(x0,ess)程序运行结果：x0 = 1 1f0 = -3g0 = -4 2************************************************************第1次寻优xk = 2.0000 0.5000fk = -5.5000gk = -1 -2Hk = 0.8400 0.3800 0.3800 0.4100************************************************************第2次寻优xk = 4 2fk = -8gk = 0 0Hk = 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000结果如下：best_x = 4 2best_fx = -8count = 2可以看到，最优点，迭代次数2次，与前面结果一致。