paddle深度学习框架中的FFT
简 介： 介绍了在深度学习框架Paddle下的FFT相关函数。
关键词： FFT，paddle
Contents
厄米特傅里叶变换
§01 FFT
1.1 背景
FFT 是离散傅里叶变换（DFT）的快速算法。具有很好的计算效率，是数值计算的重要支柱。
1.2 DFT定义
1.2.1 DFT定义
对于序列xj,j=0,1,⋯,n−1x_j ,j = 0,1, \cdots ,n - 1xj,j=0,1,⋯,n−1，对应的一维DFT定义如下：
Xk=∑j=0n−1xjeδ⋅j⋅2πjknX_k = \sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {x_j e^{\delta \cdot j \cdot 2\pi {{jk} \over n}} }Xk=j=0∑n−1xjeδ⋅j⋅2πnjk
对应频率为jjj的频率分量为：xj=ei⋅2πf⋅j⋅Δtx_j = e^{i \cdot 2\pi f \cdot j \cdot \Delta t}xj=ei⋅2πf⋅j⋅Δt。其中Δt\Delta tΔt为采样时间间隔。
- nnn为序列长度，也是傅里叶变换后结果的长度。
- δ\deltaδ是与变换方向有关系：正变换中，取值为-1， 逆变换时曲志伟1。
- σ\sigmaσ为缩放系数，和变换的方向以及缩放有关系。在paddle.fft中，缩放方案有三种形式：
- backward: 正向和逆向FFT的缩放系数分别为 1, 1/n；
- forward:正向和逆向FFT的缩放系数分别为：1/n, 1；
- ortho:正向和逆向FFT的缩放系数都是:1/sqrt(n)；
1.2.2 输出结果
输出的结果遵循“标准”排布：
如果 X = fft(x, n), 那么 X[0] 包含 0 频率项（亦即直流分量），对于实数输入来说， 这一项总是实数。X[1: n//2] 包含正频率项，频率以递增顺序排列。X[n//2 + 1:] 包含负 频率项，频率以绝对值从大到小排列。对于傅里叶变换点数为偶数的情况，X[n//2] 同时包含了正和 负的奈奎斯特（Nyquist）频率项，对于实数输入来说，这一项也总是实数。X[(n-1)//2] 为频率最 大的正频率项，X[(n+1)//2]为频率绝对值最大的负频率项。
paddle.fft.fftfreq(n) 可以返回频谱中每一项对应的频率值。paddle.fft.fftshift(X) 可以对频谱进行偏移，将零频率移动到中心位置，paddle.fft.fftshift(X) 则是这个变换的逆变 换。
1.2.3 多维离散傅里叶变换
多维离散傅里叶变换的定义如下：
Xk1,k2,⋯,kd=σ∑jd=0nd−1⋯∑j2=0n2−1∑j1=0nl−1xj1,j2,⋯,jdeδi⋅i⋅2π⋅∑l=1djl⋅kln⋅lX_{k_1 ,k_2 , \cdots ,k_d } = \sigma \sum\limits_{j_d = 0}^{n_d - 1} { \cdots \sum\limits_{j_2 = 0}^{n_2 - 1} {\sum\limits_{j_1 = 0}^{n_l - 1} {x_{j_1 ,j_2 , \cdots ,j_d } e^{\delta _i \cdot i \cdot 2\pi \cdot \sum\limits_{l = 1}^d {{{j_l \cdot k_l } \over {n \cdot l}}} } } } }Xk1,k2,⋯,kd=σjd=0∑nd−1⋯j2=0∑n2−1j1=0∑nl−1xj1,j2,⋯,jdeδi⋅i⋅2π⋅l=1∑dn⋅ljl⋅kl
ddd是傅里叶变换的维数， n1,n2,⋯,ndn_1 ,n_2 , \cdots ,n_dn1,n2,⋯,nd是每个傅里叶变换周的长度。
δ\deltaδ和变换的方向有关系，正变换中取-1， 逆变换中取1。
σ\sigmaσ为缩放系数，和变换的很像 以及缩放方案有关系。这一点与前面一维的方案相同。只是其中的：
n=∏i=1dnin = \prod\limits_{i = 1}^d {n_i }n=i=1∏dni
1.3 实数傅里叶变换和厄米特傅里叶变换
当输入信号为实数信号时，傅里叶变换的结果具有厄米特对称性，亦即频率 fk 上的分量和 −fk 上的分量互为共轭。因此可以利用对称性来减少计算量。实数傅里叶变换 (rfft) 系列的函数是用于实数输入的，并且利用了对称性，只计算正频率项，直到奈奎斯特频率项。 因此，对于实数傅里叶变换，n 个复数输入点只产生 n//2 + 1 个实数输出点。这一系列变换 的逆变换也预设了输入数据具有厄米特对称性，要产生 n 个实数输出点，只需要使用 n//2 + 1 个复数输入点。
与此相对应，当频谱是纯实数时，输入信号具有厄米特对称性。厄米特傅里叶变换（hfft）系列同样 利用对称性，产生 n 个实数输出点，只需要使用 n//2 + 1 个复数输入点。
1.4 自动微分
paddle.fft 中的傅里叶变换函数支持自动微分，使用的方法是维廷格微积分(Wertinger Calculus)。 对于复函数 f:C→C，paddle 中的惯例是使用 f(z) 对其输入的共轭的偏导数 ∂f∂z∗{{\partial f} \over {\partial z^* }}∂z∗∂f。
§02 FFT函数
2.1 FFT，IFFT
2.1.1 基本变换
x = exp(3j*pi*arange(7)/7)
xp = paddle.to_tensor(x)
fft_xp = paddle.fft.fft(xp).numpy()
print('fft_xp: {}'.format(fft_xp))
fft_xp: [1.+1.25396034e+00j 1.+4.38128627e+00j 1.-4.38128627e+00j1.-1.25396034e+00j 1.-4.81574619e-01j 1.+8.88178420e-16j1.+4.81574619e-01j]
ifft_xp = paddle.fft.ifft(paddle.to_tensor(fft_xp))
print('ifft_xp = {}'.format(ifft_xp))
ifft_xp = Tensor(shape=[7], dtype=complex128, place=CPUPlace, stop_gradient=True,[(0.9999999999999998-6.344131569286608e-17j),(0.22252093395631445+0.9749279121818237j) ,(-0.900968867902419+0.4338837391175582j) ,(-0.6234898018587337-0.7818314824680295j) ,(0.6234898018587335-0.7818314824680297j) ,(0.9009688679024195+0.433883739117557j) ,(-0.2225209339563142+0.9749279121818237j) ])
2.1.2 图象
x = [1]*10 +[0]* 100
print('x: {}'.format(x))
x: [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
xp = paddle.fft.fft(TT(x))
print('xp: {}'.format(xp))
absxp = abs(xp.numpy())plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(absxp)
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("FFT")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
▲ 图2.1.1 FFT结果
xpp = paddle.fft.fftshift(xp)
absxp = abs(xpp.numpy())
▲ 图2.1.2 FFT FFTshift后的结果
rfft
rxp = paddle.fft.rfft(TT([1,0,0,0]))
print('rxp: {}'.format(rxp))
rxp: Tensor(shape=[3], dtype=complex64, place=CPUPlace, stop_gradient=True,[(1+0j), (1+0j), (1+0j)])
rxp = paddle.fft.rfft(TT(x))
absrxp = abs(rxp.numpy())plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(absrxp)
plt.xlabel("n")
plt.ylabel("FFT")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
▲ 图2.2.1 rfftjxgo
※ 总 结 ※
介绍了在深度学习框架Paddle下的FFT相关函数。
● 相关图表链接:
- 图2.1.1 FFT结果
- 图2.1.2 FFT FFTshift后的结果
- 图2.2.1 rfftjxgo
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