【运筹学】运输规划 ( 运输规划基变量个数分析 )
文章目录
- 一、运输规划基变量个数
- 二、运输规划问题数学模型基变量数定理
一、运输规划基变量个数
上一篇博客 【运筹学】运输规划 ( 运输规划问题的数学模型 | 运输问题引入 ) 提出了运输规划问题 , 其约束方程系数矩阵的系数都是 0,10,10,1 , 该矩阵称为 稀疏矩阵 , 现在开始使用简化版的单纯形法解出最优解 ;
运输问题的线性规划如下 :
minW=6x1+4x2+6x3+6x4+5x5+5x6s.t{x1+x2+x3=200x4+x5+x6=300x1+x4=150x2+x5=150x3+x6=200x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0\begin{array}{lcl} \rm minW = 6x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 6x_4 + 5x_5 + 5x_6 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 + x_2 + x_3 = 200 \\\\ \rm x_4 + x_5 + x_6 = 300 \\\\ \rm x_1 + x_4 = 150 \\\\ \rm x_2 + x_5= 150 \\\\ \rm x_3 + x_6= 200 \\\\ \rm x_1, x_2, x_3 , x_4 , x_5 , x_6 \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=6x1+4x2+6x3+6x4+5x5+5x6s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1+x2+x3=200x4+x5+x6=300x1+x4=150x2+x5=150x3+x6=200x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0
上述运输问题的系数矩阵为 : 555 个约束方程对应的是 5×6\rm 5 \times 65×6 矩阵 ;
(111000000111100100010010001001)\begin{pmatrix} \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad \\\\ \quad 0 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad \\\\ \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad \\\\ \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad \\\\ \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \quad 1 \quad \end{pmatrix}⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛111000000111100100010010001001⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
运输问题是产销平衡的 , 约束方程中前两个相加之和是 500500500 , 后三个相加之和也是 500500500 , 说明这 555 个方程中 , 肯定有一个是多余的 ;
给上述约束方程编号 : ① ~ ⑤ ;
minW=6x1+4x2+6x3+6x4+5x5+5x6s.t{x1+x2+x3=200①x4+x5+x6=300②x1+x4=150③x2+x5=150④x3+x6=200⑤x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0\begin{array}{lcl} \rm minW = 6x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 6x_4 + 5x_5 + 5x_6 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm x_1 + x_2 + x_3 = 200 \ \ \ \ ① \\\\ \rm x_4 + x_5 + x_6 = 300 \ \ \ \ ② \\\\ \rm x_1 + x_4 = 150 \ \ \ \ ③ \\\\ \rm x_2 + x_5= 150 \ \ \ \ ④ \\\\ \rm x_3 + x_6= 200 \ \ \ \ ⑤ \\\\ \rm x_1, x_2, x_3 , x_4 , x_5 , x_6 \geq 0 \end{cases}\end{array}minW=6x1+4x2+6x3+6x4+5x5+5x6s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x1+x2+x3=200 ①x4+x5+x6=300 ②x1+x4=150 ③x2+x5=150 ④x3+x6=200 ⑤x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0
① + ② - ③ - ④ = ⑤
① + ② - ③ - ⑤ = ④
① + ② - ④ - ⑤ = ③
① + ② 减去 ③ ④ ⑤ 中的任意两个 , 肯定等于第三个 ;
③ + ④ + ⑤ - ① = ②
③ + ④ + ⑤ - ② = ①
③ + ④ + ⑤ 减去 ① ② 中的任意一个 , 肯定等于另一个 ;
上述 555 个方程 , 有一个是多余的 , 最多有 444 个实际的方程 ;
这样可以得出以下定理 ;
二、运输规划问题数学模型基变量数定理
运输规划问题数学模型基变量数定理 :
假设有 m\rm mm 个产地 , n\rm nn 个销地 , 并且 产销平衡 , 其基变量数为 m+n−1\rm m + n - 1m+n−1 ;
m\rm mm 个产地 , n\rm nn 个销地 , 变量个数是 m×n\rm m \times nm×n 个 ;
m\rm mm 个产地 , n\rm nn 个销地 , 约束方程个数是 m+n\rm m + nm+n 个 , 这些约束方程中 , 有一个是多余的 , 最本质的方程最多有 m+n−1\rm m + n - 1m+n−1 个 ;
任意删掉一个约束方程 , 就不再有多余的方程了 ;
确定约束方程个数后 , 就确定了基矩阵的秩 , 根据单纯形法的基本流程 , 第一步找初始基可行解 , 可行基就知道找什么样的可行基了 ;
单纯形法解线性规划最优解过程 :
① 基可行解 : 先找到一个 初始基可行解 ;
② 检验数 : 计算检验数 , 判定当前基可行解是否是 最优解 ;
③ 迭代 : 根据检验数确定 入基变量 , 根据入基变量系数计算 出基变量 , 然后进行 同解变换 , 生成新的单纯形表 , 继续计算检验数 ;
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