简介：

关键词：矩阵，分解，QR

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矩阵的迹

目录
Contents

定义

性质

§01 矩阵的迹

1.1 定义

参考文献： Trace of a matrix

对于方形矩阵 AAA 是一个 K×KK \times KK×K 的矩阵，它的迹，记为 trace(A)trace\left( A \right)trace(A) ，或者 tr(A)tr\left( A \right)tr(A) 定义为矩阵对角线元素累加和： tr(A)=∑k=1KAkktr\left( A \right) = \sum\limits_{k = 1}^K {A_{kk} }tr(A)=k=1∑KAkk 。

例如下面的矩阵：A=[215234010]A = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 2 & 1 & 5\\2 & 3 & 4\\0 & 1 & 0\\\end{matrix} \end{bmatrix}A=⎣⎡220131540⎦⎤
对应的迹：tr(A)=A11+A22+A33=2+3+0=5tr\left( A \right) = A_{11} + A_{22} + A_{33} = 2 + 3 + 0 = 5tr(A)=A11+A22+A33=2+3+0=5

1.2 性质

tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr\left( {A + B} \right) = tr\left( A \right) + tr\left( B \right)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
tr(aA)=a⋅tr(A)tr\left( {aA} \right) = a \cdot tr\left( A \right)tr(aA)=a⋅tr(A)
tr(αA+βB)=α⋅tr(A)+β⋅tr(B)tr\left( {\alpha A + \beta B} \right) = \alpha \cdot tr\left( A \right) + \beta \cdot tr\left( B \right)tr(αA+βB)=α⋅tr(A)+β⋅tr(B)
tr(AT)=tr(A)tr\left( {A^T } \right) = tr\left( A \right)tr(AT)=tr(A)
tr(AB)=tr(BA)tr\left( {AB} \right) = tr\left( {BA} \right)tr(AB)=tr(BA)
AB=tr(AB)=tr(BA)AB = tr\left( {AB} \right) = tr\left( {BA} \right)AB=tr(AB)=tr(BA)

1.3 相关函数

1.3.1 调用函数形式

import sys,os,math,time
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import *A = array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
print("trace(A): {}\n".format(trace(A)))

trace(A): 15

1.3.2 利用迹计算两个矩阵的内积

import sys,os,math,time
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import *A = random.randn(15,8)
B = random.randn(15,8)C = A.T.dot(B)
print("trace(C): {}\n".format(trace(C)))
print("sum(A*B): {}\n".format(sum(A*B)))

trace(C): -9.301644996885578
sum(A*B): -9.301644996885576

§02 QR分解

2.1 定义

对于矩阵 A，可以将其表示成： A=Q⋅RA = Q \cdot RA=Q⋅R 。其中 QQQ 是正交矩阵， RRR 是上三角矩阵。

2.2 分解举例

分解一个5×3随机矩阵。

import sys,os,math,time
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import *A = random.randn(5,3)
print("A: {}\n".format(A))
q,r = linalg.qr(A)
print("q: {}\n".format(q),"r: {}\n".format(r))

A: [[-1.86374906 -1.14492839  0.25085956]
[ 0.84097176  0.47786409  0.63319386]
[-1.2215861  -0.84129822 -0.68549399]
[ 0.14952506 -1.41793941 -0.28392431]
[-0.7815916  -1.56835016 -0.23617405]]
q: [[-0.74216383  0.11278664  0.58823716]
[ 0.33488351 -0.07192668  0.58284231]
[-0.48644801  0.02461369 -0.55319958]
[ 0.0595424  -0.8284496  -0.04030384]
[-0.31123773 -0.54329656  0.08134932]]
r: [[2.51123671 1.82270331 0.41592522]
[0.         1.84255932 0.32940707]
[0.         0.         0.88806271]]

可以验证 q 矩阵是正交矩阵：

print("q.T.dot(q): {}\n".format(q.T.dot(q)))

q.T.dot(q): [[1.00000000e+00 3.84861072e-17 2.96333633e-16]
[3.84861072e-17 1.00000000e+00 8.91050746e-17]
[2.96333633e-16 8.91050746e-17 1.00000000e+00]]

§03 特殊矩阵

3.1 空矩阵

n = empty((5,5))
print("n: {}\n".format(n))

n: [[3.42247464e-316 3.42249708e-316 3.42250182e-316 3.06800300e-316
3.42251605e-316]
[3.42252079e-316 3.42252553e-316 3.42253028e-316 3.42253502e-316
3.06797454e-316]
[3.42253976e-316 3.42254925e-316 3.42250656e-316 3.42251130e-316
3.42248759e-316]
[3.06797928e-316 3.06800774e-316 3.06799351e-316 3.06798403e-316
3.06798877e-316]
[3.06794608e-316 3.06796505e-316 3.06796980e-316 3.42254451e-316
1.04878799e+248]]

3.2 零矩阵

n = zeros((5,5))
print("n: {}\n".format(n))

n: [[0. 0. 0. 0. 0.]
[0. 0. 0. 0. 0.]
[0. 0. 0. 0. 0.]
[0. 0. 0. 0. 0.]
[0. 0. 0. 0. 0.]]

3.3 1矩阵

n = ones((5,5))
print("n: {}\n".format(n))

n: [[1. 1. 1. 1. 1.]
[1. 1. 1. 1. 1.]
[1. 1. 1. 1. 1.]
[1. 1. 1. 1. 1.]
[1. 1. 1. 1. 1.]]

3.4 对角线矩阵

n = eye(3,4,0)
print("n:\n{}".format(n))

n:
[[1. 0. 0. 0.]
[0. 1. 0. 0.]
[0. 0. 1. 0.]]

n = eye(3,4,1)
print("n:\n{}".format(n))

n:
[[0. 1. 0. 0.]
[0. 0. 1. 0.]
[0. 0. 0. 1.]]

n = eye(3,4,-1)
print("n:\n{}".format(n))

n = diag([1,2,3,4])
print("n:\n{}".format(n))

n:
[[1 0 0 0]
[0 2 0 0]
[0 0 3 0]
[0 0 0 4]]

▲ 图3.4.1 Matrix Diagnoal

3.5 随机矩阵

n = random.random((5,4))
print("n:\n{}".format(n))

n:
[[0.01356284 0.90473283 0.97940574 0.28104009]
[0.47466198 0.27617192 0.74221122 0.20462867]
[0.34521728 0.46786105 0.24819072 0.71578562]
[0.51775933 0.51530835 0.06254809 0.92659839]
[0.30551515 0.60956763 0.43818475 0.31937707]]

■ 相关文献链接:

Trace of a matrix

● 相关图表链接:

图3.4.1 Matrix Diagnoal

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