【数据结构】平衡树

treap = tree + heap 树堆（treap：让BST尽量随机）

动态维护一个有序序列

对于一个大根堆：
最大值：一直往右走
最小值：一直往左走

treap实现操作	set实现
①插入	insert
②删除（使其变成叶子节点）	erase
③找前驱（中序遍历的前一个位置）/后继（中序遍历的后一个位置）	lower_bound
④找最大/最小	begin(),end();
⑤求某个值的排名	无
⑥求排名是k的数是谁	无
⑦比某个数小的最大值 ( 这个数可以不存在 )	无
⑧比某个数大的最小值	无

平衡树一个点对应一个数，一共n个数，空间复杂度为O(n)O(n)O(n)

左旋/右旋后中序遍历完全不变（左中右）

    x      右旋       y/ \     zig      / \y   b    --->    a   x/ \       <---       / \
a   z      zag       z   b左旋

P3369 【模板】普通平衡树

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>using namespace std;const int N = 100010, INF = 1e8 + 7;int n, m;struct node{int l, r;//左右儿子int key;//真正的权值int val;//随机的平衡因子int cnt;//相同的数有多少个int size;//整棵树的结点个数
}tr[N];int root, idx;void pushup(int p){tr[p].size = tr[tr[p].l].size + tr[tr[p].r].size + tr[p].cnt;
}int get_node(int key){tr[ ++ idx].key = key;tr[idx].val = rand();//!堆所维护的val是随机值,为了让树变得更随机以增加搜索树效率tr[idx].cnt = tr[idx].size = 1;return idx;
}/*!往左递归时左儿子val大于根节点val就右旋*/
/*!往右递归时右儿子val大于根节点val就左旋*/
/*      x    右旋         y/ \   zig        / \y   b  --->      a   x/ \     <---         / \a   z    zag         z   b左旋              */void zig(int &p){//右旋int q = tr[p].l;tr[p].l = tr[q].r;tr[q].r = p, p = q;pushup(tr[p].r), pushup(p);
}void zag(int &p){//左旋int q = tr[p].r;tr[p].r = tr[q].l;tr[q].l = p, p = q;pushup(tr[p].l), pushup(p);
}void build(){get_node(-INF), get_node(INF);//两个哨兵边界root = 1;//-INFtr[root].r = 2;//INFpushup(root);if(tr[1].val < tr[2].val)zag(root);//因为val是随机的，所以要判断右儿子（因为当前只有两个点，只有root右儿子）//如果右儿子随机到的val大于root就左旋
}/*operator 1 : 插入一个数*/void insert(int &p, int key){if(!p) p = get_node(key);//如果树中没有这个就新建一个结点else if(tr[p].key == key) tr[p].cnt ++ ;else if(tr[p].key > key){//大就在左边insert(tr[p].l, key);if(tr[tr[p].l].val > tr[p].val)zig(p);}else { // 否则就在右边insert(tr[p].r, key);if(tr[tr[p].r].val > tr[p].val)zag(p);}pushup(p);
}/*operator 2 : 删除一个数*/void remove(int &p, int key){//删除操作：每次旋转都会使得它的深度+1,一直旋转到叶子节点,然后删除if(!p) return ;if(tr[p].key == key){//找到了if(tr[p].cnt > 1) tr[p].cnt -- ;else if(tr[p].l || tr[p].r){//!右旋往右走if(!tr[p].r || tr[tr[p].l].val > tr[tr[p].r].val){//如果没有右子树，右旋一次就到叶子节点了。或者说左子树随机到的val > 右子树随机到的val，那么必须右旋zig(p);remove(tr[p].r, key);}//!左旋往左走else {zag(p);remove(tr[p].l, key);}}else p = 0;//如果到了叶子节点就直接删掉}else if(tr[p].key > key) remove(tr[p].l, key);//往左边找else remove(tr[p].r, key);//往右边找pushup(p);//每次别忘了pushup，因为本题中维护了一个size
}//下面的几个函数只是查询不需要修改，所以不用写&p/*operator 3 : 通过数值找排名 */int get_rank_by_key(int p, int key){if(!p) return 0;//如果找到了，返回左子树个数 + 自己(这里不是cnt因为根据题意，要找的排名如果相同就找最左边的,最小的)if(tr[p].key == key) return tr[tr[p].l].size + 1;if(tr[p].key > key)return get_rank_by_key(tr[p].l, key);return tr[tr[p].l].size + tr[p].cnt + get_rank_by_key(tr[p].r, key);
}/*operator 4 : 通过排名找数值 */int get_key_by_rank(int p, int rank){if(!p) return INF;if(tr[tr[p].l].size >= rank) return get_key_by_rank(tr[p].l, rank);if(tr[tr[p].l].size + tr[p].cnt >= rank)//左边少加上中间的却大于rank，说明就在中间return tr[p].key;return get_key_by_rank(tr[p].r, rank - tr[tr[p].l].size - tr[p].cnt);//注意递归到右边时rank要减去左边的
}/*operator 5 : 找到严格小于key的最大数（前驱） */int get_prev(int p, int key){if(!p) return -INF;//!左边if(tr[p].key >= key) return get_prev(tr[p].l, key);//右边和中间return max(tr[p].key, get_prev(tr[p].r, key));
}/*operator 6 : 找到严格大于key的最小数（后继） */int get_next(int p, int key){if(!p) return INF;//!右边if(tr[p].key <= key) return get_next(tr[p].r, key);//左边和中间return min(tr[p].key, get_next(tr[p].l, key));
}int main(){build();scanf("%d", &n);while(n -- ){int op, x;scanf("%d%d", &op, &x);if(op == 1)insert(root, x);else if(op == 2)remove(root, x);else if(op == 3)printf("%d\n", get_rank_by_key(root, x) - 1);//因为最前面有一个自己设的哨兵，所以得到的rank比真实的rank大1else if(op == 4)printf("%d\n", get_key_by_rank(root, x + 1));//根据rank找key,前面有一个哨兵,所以rank要从真实的rank+1变成树里的rankelse if(op == 5)printf("%d\n", get_prev(root, x));else printf("%d\n", get_next(root, x));}return 0;
}

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