一、主值区间表示法

主值序列 :

保留 x~(n)\widetilde x(n)x(n) 在 " 主值区间 " 的值 , 其它值都为 000 , 构成一个典型的 " 有限序列 " ,

该有限序列称为周期序列的 " 主值序列 " ;

" 主值序列 " 公式如下 :

x~(n)={x~(0),x~(1),x~(2),⋯,x~(N−1)}\widetilde x(n) = \{ \widetilde x(0) , \widetilde x(1) , \widetilde x(2) , \cdots , \widetilde x(N - 1) \}x(n)={x(0),x(1),x(2),⋯,x(N−1)}

只列出一个周期的值 , 放在集合中 ;

有限序列示例 : 下面表示的是一个有限序列 , 该序列只有 444 个值 ;

x(n)={1,1,−1,2}x(n) = \{ 1 , 1 , -1, 2 \}x(n)={1,1,−1,2}

周期序列示例 : 下面表示的是一个周期序列 , 该序列周期为 444 , 使用主值区间表示法如下表示 ;

x~(n)={1,1,−1,2}\widetilde x(n) = \{ 1 , 1 , -1, 2 \}x(n)={1,1,−1,2}

二、模 N 表示法

主值区间表示法 , 只能表示完整周期的序列 ;

假如周期序列周期为 444 , 但是想要表示周期序列中的 777 个值 , 此时就要使用模 N 表示法表示周期序列 ;

x~(n)=x((n))N\widetilde x(n) = x((n))_Nx(n)=x((n))N

其中 , ((n))N((n))_N((n))N 表示的是以 NNN 为模的 nnn 的余数 , nnn 除以 NNN 的余数 ;

情况一 : 当 n≥0n \geq 0n≥0 时 , n=mN+Pn = mN + Pn=mN+P , 并且有 0≤P≤N−10 \leq P \leq N-10≤P≤N−1 , 则有 ((n))N=P((n))_N = P((n))N=P ;

示例 : 上面的例子中 , 周期 N=4N= 4N=4 , 要表示 n=7n= 7n=7 个值 , 则有 ((7))4=3((7))_4 = 3((7))4=3

情况二 : 当 n≤0n \leq 0n≤0 时 , 则有 ((n))N=N−((∣n∣))N((n))_N = N- ((|n|))_N((n))N=N−((∣n∣))N ;

示例 : 上面的例子中 , 周期 N=4N= 4N=4 , 要表示 n=−1n= -1n=−1 个值 , 下面式子计算时 , 先把 −1-1−1 取绝对值变为 111 , 然后取 N−1=4−1=3N-1 = 4 - 1 = 3N−1=4−1=3

((−1))4=3((-1))_4 = 3((−1))4=3

举例说明 :

示例一 : N=5N = 5N=5 时 , 使用模 N 表示法表示周期序列 :

x~(8)=x((8))N=x~(3)\widetilde x(8) = x((8))_N = \widetilde x(3)x(8)=x((8))N=x(3)

其中 , x~(8)\widetilde x(8)x(8) 对应的 x~(3)\widetilde x(3)x(3) 的值是相同的 , ((8))5=3((8))_5 = 3((8))5=3 ;

示例二 : x~(−2)=x~(3)\widetilde x(-2) = \widetilde x(3)x(−2)=x(3)

((−2))5=5−((∣−2∣))5=5−((∣2∣))5=5−2=3((-2))_5 = 5- ((|-2|))_5 = 5- ((|2|))_5 = 5 - 2 = 3((−2))5=5−((∣−2∣))5=5−((∣2∣))5=5−2=3

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