多面体的顶点方向以及分解定理以及多胞形凸组合

定义：

对于一个多面体PPP，如果∃d!=0\exist\ d \ \ !=\ 0∃ d != 0，使得对∀x0∈P\forall \ x_0 \in P∀ x0∈P，有射线{x∣x=x0+λd,λ>=0}⊂P\{x|x=x_0+\lambda d,\lambda>=0\}\subset P{x∣x=x0+λd,λ>=0}⊂P，则称ddd为PPP的一个顶点方向。

举例：

1.对于下面的多面体P1P_1P1，没有顶点方向。因为从里面一个点x0x_0x0引一条射线，一定会出界的。

2.对于下面的多面体P2P_2P2，有顶点方向，且有很多个，选取箭头方向为ddd如下，那么里面的任何一个点x0x_0x0引一条射线，都不会出界的。注意：P2本身是无界的。

3.对于下面的多面体P3P_3P3，有顶点方向，有且仅有一个，选取d1d_1d1方向如下，那么里面的任何一个点x0x_0x0引一条射线，都不会出界的。但是选取d2d_2d2方向就会出界，引射线之后会跑出P3P_3P3，例如途中灰色。注意：P3本身是无界的，而且上下两条直线平行

结论：

多面体PPP无界等价于多面体PPP至少有一个顶点方向。

分解定理

设一个多面体的顶点集合为VVV,且∣V∣=n|V|=n∣V∣=n，并设VVV中的元素为vi,i∈{1,2,⋯n}v_i,i\in\{1,2,\cdots n\}vi,i∈{1,2,⋯n}。则多面体PPP中的任何一个点xxx可以表示为x=∑i=1nλivi+λd,λ>=0,∑i=1nλi=1x=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iv_i+\lambda d,\lambda>=0,\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1x=∑i=1nλivi+λd,λ>=0,∑i=1nλi=1。其中ddd为PPP的一个顶点方向.

以P3P_3P3为例，我们从几何上证明一下这个即可。看下图，xxx如何由v1,v2,dv_1,v_2,dv1,v2,d 表示，注意P3P3P3的顶点方向只有这一个，上面已经证过了。

如下：

通俗易懂的说，xxx大概可以表示成x=0.6v1+0.4∗v2+2dx=0.6v_1+0.4*v_2+2dx=0.6v1+0.4∗v2+2d，当然这里只是一个大概，哈哈。

结论

当多面体变成多胞形的时候，（多胞形就是有界的多面体，比如P1P_1P1)。由于其没有顶点方向，所以上述分解定理变成我们熟悉的凸组合。

设一个多胞形的顶点集合为VVV,且∣V∣=n|V|=n∣V∣=n，并设VVV中的元素为vi,i∈{1,2,⋯n}v_i,i\in\{1,2,\cdots n\}vi,i∈{1,2,⋯n}。则多胞形PPP中的任何一个点xxx可以表示为x=∑i=1nλivi,∑i=1nλi=1x=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iv_i,\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=1x=∑i=1nλivi,∑i=1nλi=1。

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