泊松分布的分布函数_第114讲 SAS泊松分布与泊松回归

西莫恩·德尼·泊松(Simeon-Denis Poisson 1781～1840)法国数学家、几何学家和物理学家。主要成就有统计学发现泊松分布与物理光学发现与发展——泊松亮斑等。

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。比如医学领域某不良事件在一年内发生的次数。泊松分布适用于罕见事件。

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似计算。

泊松分布的期望和方差均为λ，所以当我们建立泊松回归的时候要求响应变量(因变量)服从泊松分布。

泊松分布

我们来看一下泊松分布曲线

我们可以看到

当λ=2时，期望为2；

当λ=3时，期望为3；

当λ=4时，期望为4.

泊松回归

泊松回归是基于泊松分布理论，进而用广义线性模型拟合，以达到预测实际问题的目的。

下面来看一个实例：

假设检验H0: 发病事件不存在过离散情况

p<0.001, 拒绝原假设，故存在过离散情况，若此时用泊松回归应对过离散进行校正，方法有直接用负二项回归。进行poisson回归时，参数的点估计不会受到影响，但是参数的标准误和置信区间会受到影响。这里还是进行泊松回归分析。

泊松回归程序：

程序解释：

dist=poisson指定分布为泊松分布；

link=log指定连接函数为对数函数；

offset=ln表示设置位移变量为log(n)=ln；

lrci: 输出参数估计值的95%置信区间；

obstats：输出预测值、变量的估计值以及置信区间；

residuals: 输出残差项；

type1 type3: 输出1型和3型似然比统计量；

scale=deviance: 对过离散参数进行估计；

给出genmod模型信息。

这里偏差为7.1532，故拟合良好。

dev对应的p值<0.001, 具有统计学意义，表面不同严重程度的病变情况发生胃癌的危险不同, 且sev=2和sev=3发生胃癌的危险远远高于sev=1的患者。

由1型和3型极大似然统计量可以看出，sev(病变严重情况, p<0.0001)具有统计学意义。hp(感染状况，p>0.05)没有统计学意义。而幽门螺杆菌感染状况(hp)在校正病变严重情况(sev)后，对胃癌的影响无统计学意义。

当然，我们还可以算出相对风险(RR)

由输出我们可以看到，当自变量为0，截距不变时，基线的胃癌发生率为p=e^(-12.3911)=4.15*10**(-6)≈0.00000415。参数为hp(是否感染)，RR=0.7080，说明在校正sev因素之后，感染幽门螺杆菌组的胃癌发生风险是没有感染幽门螺杆菌组的0.7080倍，几乎没有影响。sev(病变严重程度)=2的是sev=1的19.3335倍。sev(病变严重程度)=3的是sev=1的95.9409倍。可见病变严重程度才是发生胃癌的重要因子。

我们得到RR数据集，一般可以用来画森林图。

关于森林图，SAS有专门的GTL语言来画，SAS官网有对应的Graph Template Language文档，相信做项目的童鞋会遇到，可以学学。但是今天的重点不在森林图，而是poisson回归怎么建立与分析。好了，今天就讲到这里啦。

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