(170430) 令 $\dps{B(m,n)=\sum_{k=0}^n C_n^k \frac{(-1)^k}{m+k+1}}$, $m,n\in\bbN^+$. (1) 证明 $B(m,n)=B(n,m)$; (2) 计算 $B(m,n)$.

(170429) 设 $n\in\bbN^+$, 计算积分 $\dps{\int_0^{\pi/2} \frac{\sin nx}{\sin x}\rd x}.$

(170428) 设 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 定义 $\dps{F(x)=\int_a^b f(x+t)\cos t\rd t}$, $a\leq x\leq b$. (1) 证明: $F$ 在 $[a,b]$ 上可导; (2) 计算 $F''(x)$.

(170427) 设 $f\in C^2[0,\pi]$, 且 $f(\pi)=2$, $\dps{\int_0^\pi [f(x)+f''(x)]\sin x\rd x=5}$. 求 $f(0)$.

(170426) 设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续非负函数, 找出满足条件 $$\bex \int_0^1 f(x)\rd x=1,\quad \int_0^1 xf(x)\rd x=a,\quad \int_0^1 x^2f(x)\rd x=a^2 \eex$$ 的所有 $f$, 其中 $a$ 为给定实数.

(170425) For $2<q<\infty$, $$\beex \bea -\int \lap \bbu \cdot |\bbu|^{q-2}\bbu &=\int \p_iu_j \p_i\sex{|\bbu|^{q-2}u_j}\\ &=\int \p_iu_j \p_i|\bbu|^{q-2}u_j+\int \p_iu_j|\bbu|^{q-2}\p_iu_j\\ &=\frac{1}{2}\int \p_i|\bbu|^2\cdot \p_i|\bbu|^{q-2} +\int |\bbu|^{q-2}|\n\bbu|^2\\ &=\frac{q-2}{2}\int |\bbu|\p_i|\bbu|\cdot |\bbu|^{q-3}\p_i|\bbu| +\int |\bbu|^{q-2}|\n\bbu|^2\\ &=\frac{q-2}{2}\int |\bbu|^{q-2}|\n|\bbu||^2 +\int|\bbu|^{q-2}|\n\bbu|^2\\ &=\frac{2(q-2)}{q^2}\int ||\bbu|^{\frac{q}{2}-1}|^2 +\int |\bbu|^{q-2}|\n\bbu|^2;\\ \frac{\rd}{\rd t}|\bbu|^q &=\frac{\rd}{\rd t}(|\bbu|^2)^\frac{q}{2}\\ &=\frac{q}{2}(|\bbu|^2)^{\frac{q}{2}-1}\cdot 2\bbu\frac{\rd \bbu}{\rd t}\\ &=q|\bbu|^{q-2} \bbu \cdot \frac{\rd \bbu}{\rd t}. \eea \eeex$$

(170424) 设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续正函数, 且 $\dps{f^2(t)\leq 1+2\int_0^t f(s)\rd s}$. 证明: $f(t)\leq 1+t$.

(170423) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且满足条件 $\dps{f(1)=3\int_0^{1/3} \e^{x-1}f(x)\rd x}$, 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f(\xi)+f'(\xi)=0$.

(170422) 已知函数 $f(x)=\ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>\e^2$.

(170421) $$\beex \bea \int \lap f|f|^{q-2}f\rd x &=-\int \n f\cdot \sez{(q-2)|f|^{q-3}\frac{f}{|f|}\n f\cdot f +|f|^{q-2}\n f}\rd x\\ &=-\int (q-2)|f|^{q-4}|f|^2|\n f|^2 +|f|^{q-2}|\n f|\rd x\\ &=-(q-1)\int |f|^{q-2}|\n f|^2\rd x\\ &=-(q-1)\int |f|^{q-2}|\n |f||^2\rd x\quad\sex{\n|f|=\frac{f}{|f|}\n f}\\ &=-(q-1)\int | |f|^{\frac{q}{2}-1}\n |f| |^2\rd x\\ &=-\frac{4(q-1)}{q^2} \int| \n |f|^{\frac{q}{2}} |^2\rd x. \eea \eeex$$

(170420) 设 $ A $ 为 $n$ 阶正定矩阵, $ x $, $ y $ 为 $n$ 维列向量且满足 $ x ^t y >0$. 试证: 矩阵 $$\bex M= A +\frac{ x x ^t}{ x ^t y } -\frac{ A y y ^t A }{ y ^t A y } \eex$$ 正定.

(170419) 设 $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的增函数. 再设 $x_0\in [a,b)$, 而点列 $\sed{x_n}$ 满足: $x_n>x_0$, $\dps{\vlm{n}x_n=x_0}$. 求证: $\dps{\vlm{n}f(x_n)}$ 存在.

(170418) 设 $ X , Y $ 分别为 $m\times n$ 与 $n\times m$ 阵, 且 $$\bex Y X = E _n,\quad A = E _m+ X Y . \eex$$ 证明: $ A $ 相似于对角阵.

(170417) 设 $A,B$ 都是实反对称矩阵, 且 $A$ 可逆, 则 $|A^2-B|>0$.

(170416) 如果 $$\bex \sen{\n^2 u_n}_{L^\infty(0,T;L^2(\Om))}\leq C, \eex$$ 则 $$\bex \sen{\n^2 u_n}_{L^2(\Om\times (0,T))}\leq C, \eex$$ 而有子列弱收敛 $$\bex \n^2u_{n_k}\rightharpoonup \n^2u,\mbox{ in }L^2(\Om\times (0,T)). \eex$$

(170415) [熊金城点集拓扑习题7-2-01] 设 $X$ 是一个 Hausdorff 空间, $\scrA$ 是它的一个非空集族, 且由 $X$ 的紧致子集构成. 证明: $\dps{\bigcap_{A\in\scrA}A}$ 是 $X$ 的一个紧致子集.

(170414) [熊金城点集拓扑习题7-1-10] 设 $U$ 是拓扑空间 $X$ 中的一个开集. 证明: 如果 $X$ 中的一个由紧致闭集构成的集族 $\scrB$ 满足条件 $\bigcap_{B\in \scrB}B\subset U$, 则存在 $\scrB$ 的一个有限子族 $\sed{B_1,B_2,\cdots,B_n}$ 满足条件 $$\bex B_1\cap \cdots \cap B_n\subset U. \eex$$

(170413) [熊金城点集拓扑习题6-1-05] 设 $X$ 是一个拓扑空间, 证明: $X$ 是 $T_1$ 空间当且仅当对于任何 $x\in X$, 点 $x$ 的所有邻域的交恰是单点集 $\sed{x}$.

(170412) [熊金城点集拓扑习题6-1-01] 设 $X$ 是一个拓扑空间, 证明: $X$ 是 $T_0$ 空间当且仅当对于任何 $x,y\in X$, $x\neq y$, 或者 $\sed{x}\cap \overline{\sed{y}}=\vno$ 或者 $\sed{y}\cap \overline {\sed{x}}=\vno$.

(170411) [熊金城点集拓扑习题5-3-01] 设 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间, $f:X\to Y$ 是一个连续映射. 证明: 如果 $X$ 是一个 Lindeloff 空间, 则 $f(X)$ 也是一个 Lindeloff 空间.

(170410) [熊金城点集拓扑习题5-2-04] 设 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间, $f:X\to Y$ 是一个连续映射. 证明: 如果 $X$ 是一个可分空间, 则 $f(X)$ 也是可分的. (这说明可分性是一个连续映射所保持的性质, 并且由此可见, 它是一个拓扑不变性质, 可商性质.)

(170409) [熊金城点集拓扑习题5-1-06] 设 $X$ 是一个满足第一可数性公理的空间, $A\subset X$. 证明 $A$ 是一个开子集当且仅当对于 $X$ 中的任何一个序列 $\sed{x_i}$, 只要 $\dps{\vlm{i}x_i=x\in A}$, 则存在 $N>0$ 使得当 $i\geq N$ 时有 $x_i\in A$.

(170408) [熊金城点集拓扑习题4-5-01] 设 $A\subset \bbR$, 试证: $A$ 是连通的 $\lra A$ 是道路连通的.

(170407) [熊金城点集拓扑习题4-4-02] 证明: 任何一个有限补空间和任何一个可数补空间都是局部连通空间.

(170406) [熊金城点集拓扑习题4-3-01] 设 $X$ 是一个拓扑空间, $x,y\in X$ 是连通的. 证明: 如果 $E$ 是一个既开又闭的子集, 则或者 $x,y\in E$ 或者 $x,y\not\in E$. (此命题的逆命题不成立, 见下题.)

(170405) [熊金城点集拓扑习题4-1-01] 设 $A$ 和 $B$ 是拓扑空间 $X$ 的隔离子集, 证明: 如果 $A_1\subset A$, $B_1\subset B$, 则 $A_1$ 和 $B_1$ 也是隔离子集.

(170404) [熊金城点集拓扑习题3-3-05] 设 $X, Y$ 是两个拓扑空间, $f:X\to Y$ 是商映射. 令 $R=\sed{(x,y)\in X^2; f(x)=f(y)}$. 试证: (1) $R$ 是 $X$ 中的一个等价关系; (2) $Y$ 同胚于商空间 $X/R$.

(170403) 试求 \[\iint_{x^2+y^2\leq R^2}\e^x\cos y\rd x\rd y.\]

(170402) [北京大学数学系数学分析习题集05-09] 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上 $n$ 次可微, 且 $$\bex |f(x)|\leq M_0,\quad |f^{(n)}(x)|\leq M_n,\quad (M_0,M_n\mbox{ 为常数}). \eex$$ 求证: (1) $f'(x),\cdots, f^{(n-1)}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界; (2) $|f^{(k)}(x)|\leq 2^\f{k(n-k)}{2} M_0^{1-\f{k}{n}}M_n^\f{k}{n},\ (0\leq k\leq n)$.

(170401) [南开大学 2014 年高等代数考研试题] 设 $f(x)$ 为 $A$ 的特征多项式, 且存在互素的次数分别为 $p,q$ 的多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$. 求证: $$\bex \r [g(A)]=q,\quad \r [h(A)]=p. \eex$$