本文是： 2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案 的参考答案。

▌第二题：

写出下图所示的各波形的函数表达式：

第一小题：

求解：

这个函数可以使用分段函数来表示：

可以利用∣t∣\left| t \right|∣t∣和窗口信号u(t+2)−u(t−2)u\left( {t + 2} \right) - u\left( {t - 2} \right)u(t+2)−u(t−2)组合而成：

^{▲ 使用Python绘制的函数图像}

t = linspace(-4, 4, 30000)
f = (2-abs(t))*(heaviside(t+2,0.5) - heaviside(t-2,0.5))
plt.plot(t, f, label='信号f(t)')
plt.xlabel("时间(t)")
plt.ylabel("信号f(t)")
plt.grid(True)
plt.legend(loc="upper right")
plt.tight_layout()
plt.show()

第二小题：

求解：

可以使用窗口信号来表示分段阶跃信号：

第三小题：

求解：

升余弦脉冲信号是余弦信号的一周期内的信号，然后在往上平移（升起）形成一个大于0的脉冲信号。

根据题目中，可以看出对应的余弦的周期为 2T2T2T，余弦的幅度为E/2E/2E/2，因此对应的余弦信号的表达式为：
E2cos⁡(2π2T⋅t)=E2cos⁡(π⋅tT){E \over 2}\cos \left( {{{2\pi } \over {2T}} \cdot t} \right) = {E \over 2}\cos \left( {{{\pi \cdot t} \over T}} \right)2Ecos(2T2π⋅t)=2Ecos(Tπ⋅t)

则对应的升余弦信号为：
f(t)=[1+E2cos⁡(π⋅tT)]⋅[u(t+T)−u(t−T)]f\left( t \right) = \left[ {1 + {E \over 2}\cos \left( {{{\pi \cdot t} \over T}} \right)} \right] \cdot \left[ {u\left( {t + T} \right) - u\left( {t - T} \right)} \right]f(t)=[1+2Ecos(Tπ⋅t)]⋅[u(t+T)−u(t−T)]

第四小题：

求解：

单边信号可以看成原来的信号乘以 u(t)u\left( t \right)u(t)。

根据图形可以确定余弦信号的周期为2π2\pi2π，幅值为EEE。则对应的单片余弦信号为：

f(t)=E⋅cos⁡(t)⋅u(t)f\left( t \right) = E \cdot \cos \left( t \right) \cdot u\left( t \right)f(t)=E⋅cos(t)⋅u(t)

第五小题：

求解：

这是一个周期方波信号。可以先写出单个周期信号f0(t)f_0 \left( t \right)f0(t)，然后在按照周期进行延拓即可。

这个周期信号的周期为4，下面定义其中一个周期[−2,2]\left[ { - 2,2} \right][−2,2]的信号f0(t)f_0 \left( t \right)f0(t)：

f0(t)=4[u(t+1)−u(t−1)]−2f_0 \left( t \right) = 4\left[ {u\left( {t + 1} \right) - u\left( {t - 1} \right)} \right] - 2f0(t)=4[u(t+1)−u(t−1)]−2

将f0(t)f_0 \left( t \right)f0(t)进行周期为4的延拓，便可以得到周期信号：

也可以使用函数u(t)u\left( t \right)u(t)与cos⁡(t)\cos \left( t \right)cos(t)进行复合书写该波形的表达式：

f(t)=4u[cos⁡(π2t)]−2f\left( t \right) = 4u\left[ {\cos \left( {{\pi \over 2}t} \right)} \right] - 2f(t)=4u[cos(2πt)]−2

第六小题：

求解：

这是一个有无穷多个小的窗口信号组成的[0,1]\left[ {0,1} \right][0,1]之间的信号。

通过观察原来的信号，可以看到从左到右，它是由无穷多个窗口信号组成。对于第n=0,1,2,3,⋯n = 0,1,2,3, \cdotsn=0,1,2,3,⋯个窗口，窗口的起始点为：1−(12)n1 - \left( {{1 \over 2}} \right)^n1−(21)n

宽度为：1/2n+11/2^{n + 1}1/2n+1，高度为：1/2n1/2^n1/2n。因此对应的窗口信号可以表示为：

那么，信号f(t)f\left( t \right)f(t)可以表示为：

为了验证上面的公式正确性，使用Python将信号函数进行绘制，可以看出它表达了原来的信号波形。

^{▲ 使用Python绘制函数波形}

t = linspace(-0.2, 1.2, 30000)
f = zeros(len(t))
def fn(t,n):return (heaviside(t-1+1/2**n,0.5) - heaviside(t-1+1/2**(n+1),0.5))/2**n
for n in range(100):f = f + fn(t, n)
plt.plot(t, f, label='信号f(t)')
plt.xlabel("时间(t)")
plt.ylabel("信号f(t)")
plt.grid(True)
plt.legend(loc="upper right")
plt.tight_layout()
plt.show()

第七小题：

求解：

根据图形显示，信号 f(t)f\left( t \right)f(t) 是由 e−0.1te^{ - 0.1t}e−0.1t 和 sin⁡(t)\sin \left( t \right)sin(t)相乘形成的单边因果信号。

f(t)=e−0.1tsin⁡(t)⋅u(t)f\left( t \right) = e^{ - 0.1t} \sin \left( t \right) \cdot u\left( t \right)f(t)=e−0.1tsin(t)⋅u(t)

※ 附录

2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第一题
2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第二题
2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第三题
2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第四题
2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第五题
2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第六题

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2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第二题