信号与系统课程第十四次作业参考答案

※ 第一题

用闭式表达式写出下面有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）：
（1） x[n]=δ[n]x\left[ n \right] = \delta \left[ n \right]x[n]=δ[n]
（2） x[n]=δ[n−n0],(0<n0<N)x\left[ n \right] = \delta \left[ {n - n_0 } \right],\,\,\,\left( {0 < n_0 < N} \right)x[n]=δ[n−n0],(0<n0<N)
（3） x[n]=anRN[n]x\left[ n \right] = a^n R_N \left[ n \right]x[n]=anRN[n]
（4） x[n]=ejω0n⋅RN[n]x\left[ n \right] = e^{j\omega _0 n} \cdot R_N \left[ n \right]x[n]=ejω0n⋅RN[n]

■ 求解：

（1）解答：
x(n)=δ(n)x\left( n \right) = \delta \left( n \right)\;\;\;\;\;x(n)=δ(n)

X(k)=∑n=0N−1x[n]e−j2πNnk=1X\left( k \right) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]e^{ - j{{2\pi } \over N}nk} } = 1X(k)=n=0∑N−1x[n]e−jN2πnk=1

（2）解答：
x(n)=δ(n−n0),(0<n0<N)x\left( n \right) = \delta \left( {n - n_0 } \right),\,\,\,\,\,\,\left( {0 < n_0 < N} \right)\;\;\;\;\;x(n)=δ(n−n0),(0<n0<N)

X(k)=∑n=0N−1x[n]e−j2πNnk=e−j2πNn0kX\left( k \right) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]e^{ - j{{2\pi } \over N}nk} } \, = e^{ - j{{2\pi } \over N}n_0 k}X(k)=n=0∑N−1x[n]e−jN2πnk=e−jN2πn0k

（3）解答：
x(n)=anRN(n)x\left( n \right) = a^n R_N \left( n \right)\;\;\;\;\;x(n)=anRN(n)

X(k)=∑n=0N−1anRN[n]Wnk=∑n=0N−1aWk=1−(aWk)N1−aWk=1−aN1−ae−j2πNkX\left( k \right) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {a^n R_N \left[ n \right]W^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {aW^k } = {{1 - \left( {aW^k } \right)^N } \over {1 - aW^k }}\, = {{1 - a^N } \over {1 - ae^{ - j{{2\pi } \over N}k} }}X(k)=n=0∑N−1anRN[n]Wnk=n=0∑N−1aWk=1−aWk1−(aWk)N=1−ae−jN2πk1−aN

（4）解答：
x(n)=ejω0nRN(n)x\left( n \right) = e^{j\omega _0 n} R_N \left( n \right)\;\;\;\;\;x(n)=ejω0nRN(n)

X(k)=a=ejω01−ejω0N1−ej(ω0−2πNk)X\left( k \right)\mathop = \limits^{a = e^{j\omega _0 } } {{1 - e^{j\omega _0 N} } \over {1 - e^{j\left( {\omega _0 - {{2\pi } \over N}k} \right)} }}X(k)=a=ejω01−ej(ω0−N2πk)1−ejω0N

※ 第二题

x[n]x\left[ n \right]x[n]如下图所示，试绘出解答：
（1） x[n]x\left[ n \right]x[n]与x[n]x\left[ n \right]x[n]的线卷积；
（2） x[n]x\left[ n \right]x[n]与x[n]x\left[ n \right]x[n]的4点圆卷积；
（3） x[n]x\left[ n \right]x[n]与x[n]x\left[ n \right]x[n]的10点圆卷积；
（4）如果是x[n]x\left[ n \right]x[n]与x[n]x\left[ n \right]x[n]的圆卷积和线卷积相同，求长度L之最小值。

■ 求解：

※ 第三题

已知序列x[n]={1,2,3,4,5}x\left[ n \right] = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}x[n]={1,2,3,4,5}，h[n]={1,1,1,1}h\left[ n \right] = \left\{ {1,1,1,1} \right\}h[n]={1,1,1,1}。求：
（1） y[n]=x[n]∗h[n]y\left[ n \right] = x\left[ n \right] * h\left[ n \right]y[n]=x[n]∗h[n]
（2） y[n]=x[n]⊗7h[n]y\left[ n \right] = x\left[ n \right] \otimes _7 h\left[ n \right]y[n]=x[n]⊗7h[n]
（3） y[n]=x[n]⊗8h[n]y\left[ n \right] = x\left[ n \right] \otimes _8 h\left[ n \right]y[n]=x[n]⊗8h[n]

注：⊗7,⊗8\otimes _7 , \otimes _8⊗7,⊗8分别表示长度为7,8的圆卷积。

■ 求解：

（1）解答：

（2）解答：

（3）解答：
由于\nL.≥4+5-1=8,所以圆卷积结果与线卷积结果相同：

y⊗8[n]={1,3,6,10,14,12,9,5}y_{ \otimes _8 } \left[ n \right] = \left\{ {1,3,6,10,14,12,9,5} \right\}y⊗8[n]={1,3,6,10,14,12,9,5}

※ 第四题

设x[n]x\left[ n \right]x[n]为有限长序列，当n<0n < 0n<0和n≥Nn \ge Nn≥N时，x[n]=0x\left[ n \right] = 0x[n]=0。且NNN为偶数。
已知DFT{x[n]}=X[k]DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left[ k \right]DFT{x[n]}=X[k]，试利用X[k]X\left[ k \right]X[k]来表示一下个序列的DFT：

■ 求解：

（1）解答：
X1[k]=∑n=0N−1x[N−1−n]Wnk=∑m=N−10x[m]W(N−1−m)kX_1 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ {N - 1 - n} \right]W^{nk} } \, = \sum\limits_{m = N - 1}^0 {x\left[ m \right]W^{\left( {N - 1 - m} \right)k} }X1[k]=n=0∑N−1x[N−1−n]Wnk=m=N−1∑0x[m]W(N−1−m)k=∑m=0N−1x[m]W−mk⋅W−k=X[−k]Nej2πkN= \sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {x\left[ m \right]W^{ - mk} \cdot W^{ - k} } \, = X\left[ { - k} \right]_N e^{j{{2\pi k} \over N}}=m=0∑N−1x[m]W−mk⋅W−k=X[−k]NejN2πk

（2）解答：
X2[k]=∑n=0N−1(−1)nx[n]Wnk=∑n=0N−1x[n]ejnπej2πNkX_2 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\left( { - 1} \right)^n x\left[ n \right]W^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]e^{jn\pi } e^{j{{2\pi } \over N}k} }X2[k]=n=0∑N−1(−1)nx[n]Wnk=n=0∑N−1x[n]ejnπejN2πk=∑n=0N−1x[n]ej2πNn(k+N2)=X[k±N2]N= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]e^{j{{2\pi } \over N}n\left( {k + {N \over 2}} \right)} } = X\left[ {k \pm {N \over 2}} \right]_N=n=0∑N−1x[n]ejN2πn(k+2N)=X[k±2N]N

（3）解答：
X3[k]=∑n=02N−1x3[n]W2Nnk=∑n=0N−1x[n]⋅W2Nnk+∑n=N2N−1x[n−N]⋅W2NnkX_3 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{2N - 1} {x_3 \left[ n \right]W_{2N}^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_{2N}^{nk} } + \sum\limits_{n = N}^{2N - 1} {x\left[ {n - N} \right] \cdot W_{2N}^{nk} }X3[k]=n=0∑2N−1x3[n]W2Nnk=n=0∑N−1x[n]⋅W2Nnk+n=N∑2N−1x[n−N]⋅W2Nnk=∑n=0N−1x[n]⋅WNnk2+∑m=0N−1x[m]⋅WN(m+N)k2= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{n{k \over 2}} } + \sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {x\left[ m \right] \cdot W_N^{\left( {m + N} \right){k \over 2}} }=n=0∑N−1x[n]⋅WNn2k+m=0∑N−1x[m]⋅WN(m+N)2k=∑n=0N−1x[n]⋅WNnk2+WNkN2∑m=0N−1x[m]⋅WNmk2= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{{{nk} \over 2}} } + W_N^{{{kN} \over 2}} \sum\limits_{m = 0}^{N - 1} {x\left[ m \right] \cdot W_N^{{{mk} \over 2}} }=n=0∑N−1x[n]⋅WN2nk+WN2kNm=0∑N−1x[m]⋅WN2mk=[1+(−1)k]∑n=0N−1x[n]⋅WNnk2=[1+(−1)k]X[k2]N= \left[ {1 + \left( { - 1} \right)^k } \right]\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{{{nk} \over 2}} } = \left[ {1 + \left( { - 1} \right)^k } \right]X\left[ {{k \over 2}} \right]_N=[1+(−1)k]n=0∑N−1x[n]⋅WN2nk=[1+(−1)k]X[2k]N

（4）解答：
X4[k]N2=∑n=0N2−1{x[n]+x[n+N2]}⋅WN2nkX_4 \left[ k \right]_{{N \over 2}} = \sum\limits_{n = 0}^{{N \over 2} - 1} {\left\{ {x\left[ n \right] + x\left[ {n + {N \over 2}} \right]} \right\} \cdot W_{{N \over 2}}^{nk} }X4[k]2N=n=0∑2N−1{x[n]+x[n+2N]}⋅W2Nnk=∑n=0N2j−1x[n]⋅WN2nk+∑m=N2N−1x[m]⋅WN2mk= \sum\limits_{n = 0}^{{N \over 2}j - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{2nk} } + \sum\limits_{m = {N \over 2}}^{N - 1} {x\left[ m \right] \cdot W_N^{2mk} }=n=0∑2Nj−1x[n]⋅WN2nk+m=2N∑N−1x[m]⋅WN2mk=∑n=0N−1x[n]⋅WN2nk=X[2k]= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{2nk} } = X\left[ {2k} \right]=n=0∑N−1x[n]⋅WN2nk=X[2k]

（5）解答：
X5[k]=∑n=0N−1x[n]⋅W2Nnk=∑n=0N−1x[n]⋅WNnk2=X[k2]X_5 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_{2N}^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{{{nk} \over 2}} } = X\left[ {{k \over 2}} \right]X5[k]=n=0∑N−1x[n]⋅W2Nnk=n=0∑N−1x[n]⋅WN2nk=X[2k]

（6）解答：
X6[k]=∑n=02N−1x6[n]⋅W2Nnk=∑n=0N−1x[n]⋅WNnk=X[k]X_6 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{2N - 1} {x_6 \left[ n \right] \cdot W_{2N}^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{nk} } = X\left[ k \right]X6[k]=n=0∑2N−1x6[n]⋅W2Nnk=n=0∑N−1x[n]⋅WNnk=X[k]

（7）解答：
X7[k]=∑n=0N−1x7[n]⋅WN2nk=∑n=0N−1x[n]⋅1+(−1)n2WNnkX_7 \left[ k \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x_7 \left[ n \right] \cdot W_{{N \over 2}}^{nk} } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot {{1 + \left( { - 1} \right)^n } \over 2}W_N^{nk} }X7[k]=n=0∑N−1x7[n]⋅W2Nnk=n=0∑N−1x[n]⋅21+(−1)nWNnk=12{∑n=0N−1x[n]⋅WNnk+∑n=0N−1x[n](−1)nWNnk}= {1 \over 2}\left\{ {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{nk} } + \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right]\left( { - 1} \right)^n W_N^{nk} } } \right\}=21{n=0∑N−1x[n]⋅WNnk+n=0∑N−1x[n](−1)nWNnk}=12{X[k]+X[k+N2]N}= {1 \over 2}\left\{ {X\left[ k \right] + X\left[ {k + {N \over 2}} \right]_N } \right\}=21{X[k]+X[k+2N]N}

※ 第五题

有一个FFT处理器，用来估计实数信号的频谱。要求指标：
（1）频谱间的分辨率为f1≤5Hzf_1 \le 5Hzf1≤5Hz；
（2）信号的最高频率fm≤1.25kHzf_m \le 1.25kHzfm≤1.25kHz；
（3）点数NNN必须是2的整数次幂。

试确定：
（1）记录时间长度T1T_1T1；
（2）抽样点间的时间间隔TsT_sTs；
（3）一个记录过程的点数NNN。

■ 求解：

（1） T1=1f1≥15=0.2sT_1 = {1 \over {f_1 }} \ge {1 \over 5} = 0.2sT1=f11≥51=0.2s

（2） Ts≤12fm=0.4msT_s \le {1 \over {2f_m }} = 0.4msTs≤2fm1=0.4ms

（3） N=T1T2≥500N = {{T_1 } \over {T_2 }} \ge 500N=T2T1≥500

取N=512N = 512N=512。

※ 第六题

一直序列x[n]x\left[ n \right]x[n]的长度为218，h[n]h\left[ n \right]h[n]的长度为12.
（1）用直接卷激发求其线卷积，给出乘法的次数；
（2）采用基-2的快速傅里叶变换的快速卷积发，给出乘法的次数；
（3）比较以上结果，并得出你的结论。

■ 求解：

(1) 直接进行卷积运算，结果长度为218+12-1=229. 总的实数乘法次数为： 218×12=2616.

(2) 使用基-2 FFT进行运算，需要将两个序列都至长度为229的序列。取最接近的2的整数次幂，将两个序列都补零为256长度的序列。

长度为N（2的整数次幂）的FFT运算包括(Nlog\2.N)2)次复数乘法运算。使用FFT进行卷积运算需要进行3次FFT运算（两次正变换，一次反变换）和一次数组乘法运算，因此总的复数乘法运算量为：（3Nlog\2.2/2+N)。一个复数乘法运算包括有4次实数乘法运算，所以总共乘法运算的次数为 4(3Nlog\2.2/2+N)。

根据上述分析，可以计算出基-2 的FFT进行计算序列卷积的乘法计算量为:4*（3 * 256 log\2.256 / 2 + 256)=13312
对比两种计算方法所需要的乘法次数，可以看出，在序列长度比较小的情况下，使用基于-2的 FFT反而计算量增加了。

※ 第七题

已知x[n]x\left[ n \right]x[n]是长度为NNN的序列，X[k]=DFT{x[n]}X\left[ k \right] = DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\}X[k]=DFT{x[n]}，把x[n]x\left[ n \right]x[n]的长度扩大rrr倍，即：
y[n]=x[n],0≤n≤N−1y\left[ n \right] = x\left[ n \right],\,\,\,\,0 \le n \le N - 1y[n]=x[n],0≤n≤N−1y[n]=0,N≤n≤rN−1y\left[ n \right] = 0,\,\,\,\,N \le n \le rN - 1y[n]=0,N≤n≤rN−1
又：Y[k1]=DFT{y[n]},0≤k≤rN−1Y\left[ {k_1 } \right] = DFT\left\{ {y\left[ n \right]} \right\},\,\,\,\,\,0 \le k \le rN - 1Y[k1]=DFT{y[n]},0≤k≤rN−1
求Y[k1]Y\left[ {k_1 } \right]Y[k1]与X[k]X\left[ k \right]X[k]之间的关系。

■ 求解：

（1）
Y[k1]=∑n=0rN−1y[n]⋅WrNnk1=∑n=0N−1x[n]⋅WrNnk1Y\left[ {k_1 } \right] = \sum\limits_{n = 0}^{rN - 1} {y\left[ n \right] \cdot W_{rN}^{nk_1 } } = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_{rN}^{nk_1 } }Y[k1]=n=0∑rN−1y[n]⋅WrNnk1=n=0∑N−1x[n]⋅WrNnk1=∑n=0N−1x[n]⋅WNnk1r=X[k1r]= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_N^{{{nk_1 } \over r}} } = X\left[ {{{k_1 } \over r}} \right]=n=0∑N−1x[n]⋅WNrnk1=X[rk1]

（2）

Y[k1]=∑n=0N−1x[n]⋅WrNnk1=∑n=0N−1(1N∑k=0N−1X[k]⋅WN−nk)⋅WrNnk1Y\left[ {k_1 } \right] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\left[ n \right] \cdot W_{rN}^{nk_1 } } \, = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\left( {{1 \over N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {X\left[ k \right] \cdot W_N^{ - nk} } } \right)} \cdot W_{rN}^{nk_1 }Y[k1]=n=0∑N−1x[n]⋅WrNnk1=n=0∑N−1(N1k=0∑N−1X[k]⋅WN−nk)⋅WrNnk1=1N∑k=0N−1X[k]∑n=0N−1WrN−nkrWrNnk1=1N∑n=0N−1X[k]1−WrNk1N1−WrNk1−kr= {1 \over N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {X\left[ k \right]\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {W_{rN}^{ - nkr} W_{rN}^{nk_1 } } } = {1 \over N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {X\left[ k \right]{{1 - W_{rN}^{k_1 N} } \over {1 - W_{rN}^{k_1 - kr} }}}=N1k=0∑N−1X[k]n=0∑N−1WrN−nkrWrNnk1=N1n=0∑N−1X[k]1−WrNk1−kr1−WrNk1N

※ 第八题

一下序列的长度为NNN，求其DFT的闭合表达式：

（1）x[n]=sin⁡(ω0n)⋅RN[n]x\left[ n \right] = \sin \left( {\omega _0 n} \right) \cdot R_N \left[ n \right]x[n]=sin(ω0n)⋅RN[n]

（2） x[n]=an⋅RN[n]x\left[ n \right] = a^n \cdot R_N \left[ n \right]x[n]=an⋅RN[n]

（3） x[n]=n2⋅RN[n]x\left[ n \right] = n^2 \cdot R_N \left[ n \right]x[n]=n2⋅RN[n]

■ 求解：

（1）
X(k)=∑n=0N−1sin⁡(ω0n)⋅e−j2πknNX\left( k \right) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\sin \left( {\omega _0 n} \right) \cdot e^{ - j{{2\pi kn} \over N}} }X(k)=n=0∑N−1sin(ω0n)⋅e−jN2πkn

=∑n=0N−112j(ejω0n−e−jω0n)⋅e−j2πkN⋅n= \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{1 \over {2j}}\left( {e^{j\omega _0 n} - e^{ - j\omega _0 n} } \right) \cdot e^{ - j{{2\pi k} \over N} \cdot n} }=n=0∑N−12j1(ejω0n−e−jω0n)⋅e−jN2πk⋅n

=12j[1−ejω0N1−ej(ω0−2πkN)−1−e−jω0N1−e−j(ω0+2πkN)]= {1 \over {2j}}\left[ {{{1 - e^{j\omega _0 N} } \over {1 - e^{j\left( {\omega _0 - {{2\pi k} \over N}} \right)} }} - {{1 - e^{ - j\omega _0 N} } \over {1 - e^{ - j\left( {\omega _0 + {{2\pi k} \over N}} \right)} }}} \right]=2j1[1−ej(ω0−N2πk)1−ejω0N−1−e−j(ω0+N2πk)1−e−jω0N]

=12j⋅(1−ejω0N)⋅(1−e−j(ω0+2πkN))−(1−e−jω0N)⋅(1−ej(ω0−2πkN))(1−ej(ω0−2πkN))⋅(1−e−j(ω0+2πkN))= {1 \over {2j}} \cdot {{\left( {1 - e^{j\omega _0 N} } \right) \cdot \left( {1 - e^{ - j\left( {\omega _0 + {{2\pi k} \over N}} \right)} } \right) - \left( {1 - e^{ - j\omega _0 N} } \right) \cdot \left( {1 - e^{j\left( {\omega _0 {\rm{ - }}{{{\rm{2}}\pi k} \over N}} \right)} } \right)} \over {\left( {1 - e^{j\left( {\omega _0 - {{2\pi k} \over N}} \right)} } \right) \cdot \left( {1 - e^{ - j\left( {\omega _0 + {{2\pi k} \over N}} \right)} } \right)}}=2j1⋅(1−ej(ω0−N2πk))⋅(1−e−j(ω0+N2πk))(1−ejω0N)⋅(1−e−j(ω0+N2πk))−(1−e−jω0N)⋅(1−ej(ω0−N2πk))

=sin⁡ω0e−j2πkN−sin⁡(ω0N)+sin⁡(ω0N−ω0)e−j2πkN1−2cos⁡ω0e−j2πkN+e−j4πkN= {{\sin \omega _0 e^{ - j{{2\pi k} \over N}} - \sin \left( {\omega _0 N} \right) + \sin \left( {\omega _0 N - \omega _0 } \right)e^{ - j{{2\pi k} \over N}} } \over {1 - 2\cos \omega _0 e^{ - j{{2\pi k} \over N}} + e^{ - j{{4\pi k} \over N}} }}=1−2cosω0e−jN2πk+e−jN4πksinω0e−jN2πk−sin(ω0N)+sin(ω0N−ω0)e−jN2πk

（2）
X(k)=∑n=0N−1ane−j2πNknX\left( k \right) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {a^n e^{ - j{{2\pi } \over N}kn} }X(k)=n=0∑N−1ane−jN2πkn=1−(ae−j2πkN)N1−a⋅e−j2πkN=1−aN1−a⋅e−j2πkN= {{1 - \left( {ae^{ - j{{2\pi k} \over N}} } \right)^N } \over {1 - a \cdot e^{ - j{{2\pi k} \over N}} }} = {{1 - a^N } \over {1 - a \cdot e^{ - j{{2\pi k} \over N}} }}=1−a⋅e−jN2πk1−(ae−jN2πk)N=1−a⋅e−jN2πk1−aN

（3）
∑n=0N−1nWn=W+2W2+⋅⋅⋅+(N−1)WN−1\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {nW^n } = W + 2W^2 + \cdot \cdot \cdot + \left( {N - 1} \right)W^{N - 1}n=0∑N−1nWn=W+2W2+⋅⋅⋅+(N−1)WN−1=W+W2+⋅⋅⋅+WN−1+= W + W^2 + \cdot \cdot \cdot + W^{N - 1} +=W+W2+⋅⋅⋅+WN−1+W2+⋅⋅⋅+WN−1+W^2 + \cdot \cdot \cdot + W^{N - 1} +W2+⋅⋅⋅+WN−1+W3+⋅⋅⋅+WN−1+W^3 + \cdot \cdot \cdot + W^{N - 1} +W3+⋅⋅⋅+WN−1+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅WN−1W^{N - 1}WN−1

=W−WN1−W+W2−WN1−W+⋅⋅⋅+WN−1−WN1−W= {{W - W^N } \over {1 - W}} + {{W^2 - W^N } \over {1 - W}} + \cdot \cdot \cdot + {{W^{N - 1} - W^N } \over {1 - W}}=1−WW−WN+1−WW2−WN+⋅⋅⋅+1−WWN−1−WN=∑n=0N−1Wn−N⋅WN1−W=W−WN1−W−(N−1)WN1−W= {{\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {W^n } - N \cdot W^N } \over {1 - W}} = {{{{W - W^N } \over {1 - W}} - \left( {N - 1} \right)W^N } \over {1 - W}}=1−Wn=0∑N−1Wn−N⋅WN=1−W1−WW−WN−(N−1)WN=W−11−W−(N−1)1−W=−N1−W= {{{{W - 1} \over {1 - W}} - \left( {N - 1} \right)} \over {1 - W}} = {{ - N} \over {1 - W}}=1−W1−WW−1−(N−1)=1−W−N

∑n=0N−1n2Wn=W+4W2+9W3+⋅⋅⋅+(2N−3)WN−1\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {n^2 W^n } = W + 4W^2 + 9W^3 + \cdot \cdot \cdot + \left( {2N - 3} \right)W^{N - 1}n=0∑N−1n2Wn=W+4W2+9W3+⋅⋅⋅+(2N−3)WN−1=W+W2+W3+⋅⋅⋅+WN−1+= W + W^2 + W^3 + \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cdot \cdot \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + W^{N - 1} +=W+W2+W3+⋅⋅⋅+WN−1+3W2+3W3+⋅⋅⋅+3WN−1+3W^2 + 3W^3 + \;\;\;\; \cdot \cdot \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 3W^{N - 1} +3W2+3W3+⋅⋅⋅+3WN−1+5W3+⋅⋅⋅+5WN−1+5W^3 + \,\,\,\,\,\,\; \cdot \cdot \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\, + 5W^{N - 1} +5W3+⋅⋅⋅+5WN−1+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2N−3)WN−1\left( {2N - 3} \right)W^{N - 1}(2N−3)WN−1
$$$$=W−WN1−W+3(W2−WN)1−W+5(W3−WN)1−W+⋅⋅⋅+(2N−3)(WN−1−WN)1−W= {{W - W^N } \over {1 - W}} + {{3\left( {W^2 - W^N } \right)} \over {1 - W}} + {{5\left( {W^3 - W^N } \right)} \over {1 - W}} + \cdot \cdot \cdot + {{\left( {2N - 3} \right)\left( {W^{N - 1} - W^N } \right)} \over {1 - W}}=1−WW−WN+1−W3(W2−WN)+1−W5(W3−WN)+⋅⋅⋅+1−W(2N−3)(WN−1−WN)=11−W[∑k=1N−1(2k−1)Wk−∑k=1N−1(2k−1)WN]= {1 \over {1 - W}}\left[ {\sum\limits_{k = 1}^{N - 1} {\left( {2k - 1} \right)W^k } - \sum\limits_{k = 1}^{N - 1} {\left( {2k - 1} \right)} W^N } \right]=1−W1[k=1∑N−1(2k−1)Wk−k=1∑N−1(2k−1)WN]=11−W[2∑n=1N−1nWn−∑n=1N−1Wn−∑n=1N−1(2k−1)]= {1 \over {1 - W}}\left[ {2\sum\limits_{n = 1}^{N - 1} {nW^n } - \sum\limits_{n = 1}^{N - 1} {W^n } - \sum\limits_{n = 1}^{N - 1} {\left( {2k - 1} \right)} } \right]=1−W1[2n=1∑N−1nWn−n=1∑N−1Wn−n=1∑N−1(2k−1)]=11−W[2⋅−N1−W−W−WN1−W−(N−1)2]= {1 \over {1 - W}}\left[ {2 \cdot {{ - N} \over {1 - W}} - {{W - W^N } \over {1 - W}} - \left( {N - 1} \right)^2 } \right]=1−W1[2⋅1−W−N−1−WW−WN−(N−1)2]=−2N−(W−1)−(N−1)(1−W)(1−W)2=N(N−1)W−N2(1−W)2= {{ - 2N - \left( {W - 1} \right) - \left( {N - 1} \right)\left( {1 - W} \right)} \over {\left( {1 - W} \right)^2 }} = {{N\left( {N - 1} \right)W - N^2 } \over {\left( {1 - W} \right)^2 }}=(1−W)2−2N−(W−1)−(N−1)(1−W)=(1−W)2N(N−1)W−N2

※ 第九题

证明DFT的对称性：

若：DFT{x[n]}=X[k]DFT\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left[ k \right]DFT{x[n]}=X[k]

则：DFT{X[n]}=N⋅[[−k]]N⋅RN[n]DFT\left\{ {X\left[ n \right]} \right\} = N \cdot \left[ {\left[ { - k} \right]} \right]_N \cdot R_N \left[ n \right]DFT{X[n]}=N⋅[[−k]]N⋅RN[n]

■ 证明：

根据IDFT公式：x[n]=1N∑k=0NX[k]⋅ej2πknNx\left[ n \right] = {1 \over N}\sum\limits_{k = 0}^N {X\left[ k \right] \cdot e^{{{j2\pi kn} \over N}} }x[n]=N1k=0∑NX[k]⋅eNj2πkn
因此：N⋅x[n]=∑k=0NX[k]⋅e−j2πkN(−n)N \cdot x\left[ n \right] = \sum\limits_{k = 0}^N {X\left[ k \right] \cdot e^{{{ - j2\pi k} \over N}\left( { - n} \right)} }N⋅x[n]=k=0∑NX[k]⋅eN−j2πk(−n)
所以：DFT{X[n]}=N⋅x((−k))N⋅R[n]DFT\left\{ {X\left[ n \right]} \right\} = N \cdot x\left( {\left( { - k} \right)} \right)_N \cdot R\left[ n \right]DFT{X[n]}=N⋅x((−k))N⋅R[n]

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2020年春季学期信号与系统课程作业参考答案-第十四次作业

※ 第一题

■ 求解：

※ 第二题

■ 求解：

※ 第三题

■ 求解：

※ 第四题

■ 求解：

※ 第五题

■ 求解：

※ 第六题

■ 求解：

※ 第七题

■ 求解：

※ 第八题

■ 求解：

※ 第九题

■ 证明：

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